Сферическая геометрия

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Сумма углов сферического треугольника не равна 180 °. Сфера - это криволинейная поверхность, но локально законы плоской (планарной) евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности земли сумма углов лишь немногим больше 180 градусов.
Сфера со сферическим треугольником на ней.

Сферическая геометрия является геометрией в дву- мерной поверхности сферы . В этом контексте слово «сфера» относится только к 2-мерной поверхности, а другие термины, такие как «шар» или «твердая сфера», используются для поверхности вместе с ее 3-мерным внутренним пространством.

Сферическая геометрия, долгое время изучаемая с точки зрения ее практического применения в навигации и астрономии , имеет много общего и важного отличия от геометрии евклидовой плоскости . Сфера по большей части изучалась как часть 3-х мерной евклидовой геометрии (часто называемой твердой геометрией ), поверхность считается помещенной внутри окружающего 3- х мерного пространства. Его также можно анализировать «внутренними» методами, которые включают только саму поверхность и не относятся к любому окружающему пространству вне или внутри сферы и даже не предполагают его существования.

Поскольку сфера и плоскость различаются геометрически, (внутренняя) сферическая геометрия имеет некоторые особенности неевклидовой геометрии и иногда описывается как единое целое. Однако сферическая геометрия не считалась полноценной неевклидовой геометрией, достаточной для решения древней проблемы, является ли постулат параллельности логическим следствием остальных аксиом Евклида о плоской геометрии. Вместо этого решение было найдено в гиперболической геометрии .

Обзор [ править ]

В плоской (евклидовой) геометрии основными понятиями являются точки и (прямые) линии . В сферической геометрии основными понятиями являются точка и большой круг .

На внешнем трехмерном изображении большой круг - это пересечение сферы с любой плоскостью, проходящей через центр. С точки зрения внутреннего подхода, большой круг является геодезической ; кратчайший путь между любыми двумя его точками при условии, что они достаточно близки. Или, в (также внутреннем) аксиоматическом подходе, аналогичном аксиомам Евклида о геометрии плоскости, «большой круг» - это просто неопределенный термин вместе с постулатами, устанавливающими основные отношения между большими кругами и также неопределенными «точками». Это то же самое, что и метод Евклида, когда точка и линия рассматриваются как неопределенные примитивные понятия и аксиоматизируются их отношения.

Большие круги во многих отношениях играют ту же логическую роль в сферической геометрии, что и линии в евклидовой геометрии, например, как стороны (сферических) треугольников. Это больше, чем аналогия; сферическая и плоская геометрия и другие объекты могут быть объединены под зонтиком геометрии, построенной на основе измерения расстояния, где «линии» означают кратчайшие пути (геодезические). Многие утверждения о геометрии точек и таких «линий» одинаково верны для всех этих геометрий при условии, что линии определены таким образом, и теорию можно легко распространить на более высокие измерения. Тем не менее, поскольку ее приложения и педагогика связаны с твердотельной геометрией и поскольку обобщение теряет некоторые важные свойства линий на плоскости, сферическая геометрия обычно вообще не использует термин «линия» для обозначения чего-либо на самой сфере. В случае разработки как части твердой геометрии используются точки, прямые линии и плоскости (в евклидовом смысле) в окружающем пространстве.

В сферической геометрии углы определяются между большими окружностями, что приводит к сферической тригонометрии, которая во многих отношениях отличается от обычной тригонометрии ; например, сумма внутренних углов сферического треугольника превышает 180 градусов.

Связь с подобными геометриями [ править ]

Сферическая геометрия тесно связана с эллиптической геометрией .

Важной геометрией, связанной с геометрией сферы, является геометрия реальной проективной плоскости ; он получается путем определения точек противоположных точек (пар противоположных точек) на сфере. Локально проективная плоскость обладает всеми свойствами сферической геометрии, но имеет другие глобальные свойства. В частности, он неориентируемый или односторонний, и в отличие от сферы его нельзя нарисовать как поверхность в трехмерном пространстве, не пересекаясь с самим собой.

Концепции сферической геометрии также могут быть применены к продолговатой сфере , хотя в некоторые формулы должны быть внесены незначительные изменения.

Существуют многомерные сферические геометрии; см. эллиптическую геометрию .

История [ править ]

Греческая древность [ править ]

Самая ранняя математическая работа античности, дошедшая до нашего времени, - « О вращающейся сфере» (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) Автолика Питанского , жившего в конце четвертого века до нашей эры. [1]

Сферическая тригонометрия изучалась ранними греческими математиками, такими как Феодосий Вифинский , греческий астроном и математик, написавший Sphaerics , книгу по геометрии сферы [2], и Менелай Александрийский , который написал книгу по сферической тригонометрии под названием Sphaerica и развил теорему Менелая . [3] [4]

Исламский мир [ править ]

Книга неизвестных дуг сферы, написанная исламским математиком Аль-Джайяни , считается первым трактатом по сферической тригонометрии. В книге приведены формулы для правых треугольников, общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника. [5]

Книга Региомонтана « О треугольниках » , написанная около 1463 года, является первым чисто тригонометрическим трудом в Европе. Однако столетие спустя Джероламо Кардано отметил, что большая часть его материала по сферической тригонометрии была взята из работ двенадцатого века андалузского ученого Джабира ибн Афлаха . [6]

Работа Эйлера [ править ]

Леонард Эйлер опубликовал серию важных мемуаров по сферической геометрии:

  • Л. Эйлер, Принципы тригонометрической сферической науки о методах больших и малых, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, стр. 233–257; Опера Омния, Серия 1, т. XXVII, стр. 277–308.
  • Л. Эйлер, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grand et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, стр. 258–293; Опера Омния, Серия 1, т. XXVII, стр. 309–339.
  • Л. Эйлер, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, стр. 195–216; Опера Омния, Серия 1, Том 28, стр. 142–160.
  • Л. Эйлер, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, стр. 31–54; Опера Омния, Серия 1, т. XXVI, стр. 204–223.
  • Л. Эйлер, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, стр. 91–96; Опера Омния, Серия 1, т. XXVI, стр. 237–242.
  • Л. Эйлер, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, стр. 96–114; Опера Омния, Серия 1, т. XXVI, стр. 344–358.
  • Л. Эйлер, Trigonometria sphaerica Universa, ex primis Principiis breviter et dilucide производная, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, стр. 72–86; Опера Омния, Серия 1, т. XXVI, стр. 224–236.
  • Л. Эйлер, Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, стр. 47–62; Опера Омния, Серия 1, т. XXIX, стр. 253–266.

Свойства [ править ]

Сферическая геометрия обладает следующими свойствами: [7]

  • Любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, называемых противоположными точками .
  • Любые две точки, которые не являются противоположными точками, определяют уникальный большой круг.
  • Существует естественная единица измерения угла (основанная на обороте), естественная единица измерения длины (основанная на длине окружности большого круга) и естественная единица измерения площади (основанная на площади сферы).
  • Каждый большой круг связан с парой противоположных точек, называемых его полюсами, которые являются общими пересечениями множества больших кругов, перпендикулярных ему. Это показывает, что большой круг по отношению к измерению расстояния на поверхности сферы является кругом: геометрическое место всех точек на определенном расстоянии от центра.
  • Каждая точка связана с уникальным большим кругом, называемым полярным кругом точки, который представляет собой большой круг на плоскости, проходящей через центр сферы и перпендикулярной диаметру сферы, проходящей через данную точку.

Поскольку есть две дуги, определяемые парой точек, которые не являются антиподами, на большом круге, который они определяют, три неколлинеарных точки не определяют уникальный треугольник. Однако, если мы рассматриваем только треугольники, стороны которых являются малыми дугами больших окружностей, мы обладаем следующими свойствами:

  • Сумма углов треугольника больше 180 ° и меньше 540 °.
  • Площадь треугольника пропорциональна превышению суммы его углов над 180 °.
  • Два треугольника с одинаковой суммой углов равны по площади.
  • Есть верхняя граница площади треугольников.
  • Композицию (произведение) двух отражений по большому кругу можно рассматривать как вращение вокруг любой из точек пересечения их осей.
  • Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они соответствуют конечному произведению таких отражений.
  • Два треугольника с соответствующими углами равны конгруэнтны (т. Е. Все подобные треугольники конгруэнтны).

Отношение к постулатам Евклида [ править ]

Если «линия» означает большой круг, сферическая геометрия подчиняется двум постулатам Евклида : второму постулату («непрерывно производить [продолжать] конечную прямую линию по прямой линии») и четвертому постулату («что все прямые углы равны друг другу "). Однако это нарушает три других: вопреки первому постулату, не существует единственного кратчайшего маршрута между любыми двумя точками ( противоположные точки, такие как северный и южный полюсы на сферическом глобусе, являются контрпримерами); вопреки третьему постулату, сфера не содержит кругов сколь угодно большого радиуса; и вопреки пятому (параллельному) постулату , нет точки, через которую можно провести линию, никогда не пересекающую данную линию. [8]

Утверждение, эквивалентное постулату параллельности, состоит в том, что существует треугольник, углы которого в сумме составляют 180 °. Поскольку сферическая геометрия нарушает постулат параллельности, такого треугольника на поверхности сферы не существует. Сумма углов треугольника на сфере равна 180 ° (1 + 4 f ) , где f - часть поверхности сферы, заключенная в треугольник. Для любого положительного значения f это превышает 180 °.

См. Также [ править ]

  • Сферическая астрономия
  • Сферическое расстояние
  • Сферический многогранник
  • Формула половинной стороны
  • Ленарт сфера
  • Versor

Примечания [ править ]

  1. Перейти ↑ Rosenfeld, BA (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 2. ISBN 0-387-96458-4.
  2. ^ "Феодосий Вифинии - словарное определение Феодосия Вифинии" . HighBeam Research . Проверено 25 марта 2015 года .
  3. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Менелай Александрийский» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
  4. ^ "Менелай Александрийский Факты, информация, изображения" . HighBeam Research . Проверено 25 марта 2015 года .
  5. ^ Школа математических и вычислительных наук Университета Сент-Эндрюс
  6. ^ Виктор Дж. Кац-Princeton University Press
  7. ^ Merserve , стр. 281-282
  8. ^ Гауэрс, Тимоти , Математика: очень краткое введение , Oxford University Press, 2002: стр. 94 и 98.

Ссылки [ править ]

  • Месерв, Брюс Э. (1983) [1959], Основные понятия геометрии , Dover, ISBN 0-486-63415-9
  • Пападопулос, Атанас (2015), Эйлер, la géométrie sphérique et le Calcul des Changes. В: Леонард Эйлер: Mathématicien, Physicien et théoricien de la musique (реж. X. Hascher et A. Papadopoulos) , CNRS Editions, Париж, ISBN 978-2-271-08331-9
  • Ван Браммелен, Глен (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922. Проверено 31 декабря 2014 года .
  • Рошди Рашед и Афанас Пападопулос (2017) Сферики Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави. Критическое издание Сферики Менелая из арабских рукописей, с историческими и математическими комментариями , Серия Де Грюйтера : Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4 

Внешние ссылки [ править ]

  • Геометрия сферы Университет Райса
  • Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая геометрия» . MathWorld .
  • Таблицы навигации: треугольники навигации
  • Sphaerica - программа для построения геометрии на сфере