Синусоидальная волна

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен с синусоидального )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Графики функций синуса (сплошной красный) и косинуса (синий пунктир) представляют собой синусоиды разных фаз.

Синусоида или синусоида является математическим кривой , которая описывает гладкое периодическое колебание . Синусоидальная волна - это непрерывная волна . Он назван в честь функции sine , график которой является . Это часто встречается как в чистой, так и в прикладной математике , а также в физике , технике , обработке сигналов и многих других областях. Его основная форма как функция времени ( t ):

куда:

  • A , амплитуда , максимальное отклонение функции от нуля.
  • f , обычная частота , количество колебаний (циклов), которые происходят каждую секунду.
  • ω = 2π f , угловая частота , скорость изменения аргумента функции в радианах в секунду
  • , phase , указывает (в радианах ), где в его цикле колебание находится при t = 0.
    Когда не равно нулю, вся форма волны кажется сдвинутой во времени на величину / ω секунд. Отрицательное значение представляет задержку, а положительное значение - продвижение.
Колебания незатухающей системы пружина-масса вокруг положения равновесия представляют собой синусоидальную волну.

Синусоидальная волна важна в физике, потому что она сохраняет форму волны при добавлении к другой синусоидальной волне той же частоты, произвольной фазы и величины. Это единственный периодический сигнал, обладающий этим свойством. Это свойство обуславливает его важность для анализа Фурье и делает его уникальным в акустическом отношении.

Общая форма [ править ]

В общем, функция также может иметь:

  • пространственная переменная x, которая представляет положение в измерении, в котором распространяется волна, и характеристический параметр k, называемый волновым числом (или угловым волновым числом), который представляет пропорциональность между угловой частотой ω и линейной скоростью ( скоростью распространения ) ν ;
  • ненулевая центральная амплитуда, D

который

, если волна движется вправо
, если волна движется влево.

Волновое число связано с угловой частотой с помощью : .

где λ (лямбда) - длина волны , f - частота , а v - линейная скорость.

Это уравнение дает синусоидальную волну для одного измерения; таким образом, приведенное выше обобщенное уравнение дает смещение волны в точке x в момент времени t вдоль одной линии. Это можно было бы, например, считать величиной волны вдоль провода.

В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну, если положение x и волновое число k интерпретируются как векторы, а их произведение - как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота водной волны в пруду после падения камня, необходимы более сложные уравнения.

Возникновение [ править ]

Иллюстрация фундаментального отношения косинусоидальной волны к окружности.

Этот волновой рисунок часто встречается в природе, включая ветровые , звуковые и световые волны.

Косинус волна называется синусоидальной , потому что также является синусоидальная волна с фазовым сдвигом на л / 2 радиан . Из-за этого преимущества часто говорят, что функция косинуса опережает функцию синуса или что синус отстает от косинуса.

Человеческое ухо может распознавать одиночные синусоидальные волны как чистые, потому что синусоидальные волны представляют собой единую частоту без гармоник .

Для человеческого уха звук, состоящий из нескольких синусоидальных волн, будет иметь заметные гармоники; добавление разных синусоидальных волн приводит к другой форме волны и, таким образом, изменяет тембр звука. Наличие высших гармоник в дополнение к основным причинам изменения тембра является причиной того, что одна и та же музыкальная нота ( одна и та же частота), воспроизводимая на разных инструментах, звучит по-разному. С другой стороны, если звук содержит апериодические волны наряду с синусоидальными волнами (которые являются периодическими), то звук будет восприниматься как зашумленный, поскольку шум характеризуется как апериодический или неповторяющийся.

Ряд Фурье [ править ]

Синусоидальные, квадратные , треугольные и пилообразные формы сигналов

В 1822 году французский математик Жозеф Фурье обнаружил, что синусоидальные волны можно использовать в качестве простых строительных блоков для описания и аппроксимации любой периодической формы волны, включая прямоугольные . Фурье использовал его как аналитический инструмент при изучении волн и теплового потока. Он часто используется при обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов .

Бегущие и стоячие волны [ править ]

Поскольку синусоидальные волны распространяются без изменения формы в распределенных линейных системах , [ необходимо определение ] они часто используются для анализа распространения волн . Синусоидальные волны, распространяющиеся в пространстве в двух направлениях, можно представить как

Когда две волны, имеющие одинаковую амплитуду и частоту и распространяющиеся в противоположных направлениях, накладываются друг на друга, создается картина стоячей волны . Обратите внимание, что на натянутой струне мешающие волны - это волны, отраженные от фиксированных концов струны. Следовательно, стоячие волны возникают только на определенных частотах, которые называются резонансными частотами и состоят из основной частоты и ее высших гармоник . Резонансные частоты струны пропорциональны: длине между закрепленными концами; натяжение струны; и обратно пропорциональна массе на единицу длины строки.

См. Также [ править ]

  • Крест (физика)
  • Затухающая синусоида
  • преобразование Фурье
  • Гармонический ряд (математика)
  • Гармонический ряд (музыка)
  • Уравнение Гельмгольца
  • Мгновенная фаза
  • Осциллограф
  • Фазор
  • Чистый тон
  • Простые гармонические колебания
  • Синусоидальная модель
  • Волна (физика)
  • Волновое уравнение
  • символ синусоиды (U + 223F)

Дальнейшее чтение [ править ]

  • «Синусоида» . Энциклопедия математики . Springer . Проверено 8 декабря 2013 года .