Набор (математика)

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Набор многоугольников в диаграмме Эйлера

В математике , набор представляет собой набор отдельных элементов или членов . [1] [2] [3] Элементы, составляющие набор, могут быть любыми предметами, людьми, буквами алфавита или математическими объектами , такими как числа, точки в пространстве, линии или другие геометрические фигуры, алгебраические константы. и переменные, или даже другие наборы. [4] Два набора равны тогда и только тогда, когда они имеют в точности одинаковые элементы. [5] Это известно как аксиома экстенсиональности .

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Более специализированный предмет теории множеств является частью основ математики . [4]

Происхождение [ править ]

Понятие множества возникло в математике в конце XIX века. [6] Немецкое слово Menge , переведенное как «набор» на английском языке, было придумано Бернардом Больцано в его работе «Парадоксы бесконечного» . [7] [8] [9]

Отрывок с переводом определения оригинальной постановки Георга Кантора. Немецкое слово Menge для набора здесь переводится как совокупность .

Георг Кантор был одним из основоположников теории множеств. Он дал следующее определение набора в начале своего Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre : [10]

Набор - это совокупность определенных, отличных объектов нашего восприятия [Anschauung] или нашей мысли, которые называются элементами набора.

Наивная теория множеств [ править ]

Самым главным основным свойством набора является то, что он может иметь элементы. Еще одно важное свойство наборов состоит в том, что два набора равны (один набор равен другому, поэтому два набора фактически являются одним и тем же) тогда и только тогда, когда каждый элемент каждого набора является элементом другого. Это свойство называется протяженностью множеств . [11]

Простая концепция множества оказалась чрезвычайно полезной в математике, но она страдает несогласованностью на самом фундаментальном уровне. Расплывчатое понятие, которое позволяет любому свойству без ограничений определять коллекцию, приводит к нескольким парадоксам , в первую очередь:

  • Парадокс Рассела  - он показывает, что «множество всех множеств, которые не содержат самих себя », то есть «множество» { x | x - это множество, а xx } не существует.
  • Парадокс Кантора  - он показывает, что «множество всех множеств» не может существовать.

Наивная теория множеств определяет множество как любой четко определенный набор различных элементов. Проблемы возникают из-за расплывчатого значения четко определенного термина .

Аксиоматическая теория множеств [ править ]

В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времен первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись аксиомами . Теория аксиоматических множеств рассматривает понятие множества как примитивное понятие . [12] Цель аксиом - предоставить базовую структуру, из которой можно вывести истинность или ложность определенных математических предложений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая аксиоматическая теория множеств свободна от парадокса. [ необходима цитата ]

Как определяются множества и их обозначение [ править ]

Математические тексты обычно используют заглавные буквы [13] [4] [14] в курсивом , такие как A , B , C для обозначения множеств. [14] [15]

Набор может быть определен интенсионально , экстенсионально [16] или внешне .

Семантическое определение [ править ]

Самый простой интенсиональный метод определения набора - использование правила или семантического описания: [17] [16]

A - это набор, членами которого являются первые четыре положительных целых числа .
B - набор цветов французского флага .

Обозначение ростера [ править ]

Однако наборы не ограничиваются коллекциями элементов, следующих простым правилам, как, например, наборы в приведенных выше примерах. Нотация ростера (или нотация перечисления ) - это метод определения набора путем перечисления (или перечисления ) членов набора, [18] [19] [20] [21] [22], заключающий список членов в фигурные скобки :

А = {4, 2, 1, 3}
B = {синий, белый, красный}.

Это пример перечислительного определения .

В отличие от последовательности , кортежа или перестановки набора, порядок, в котором элементы набора перечислены в нотации реестра, не имеет значения, поэтому {6, 11} является тем же набором, что и {11, 6} и {2 , 6, 4}, {4, 2, 6}, {4, 6, 2}, {6, 2, 4} или {6, 4, 2} все представляют один и тот же набор. [23] [15] [24]

Для наборов с большим количеством элементов, особенно следующих по неявному шаблону, список элементов может быть сокращен с помощью многоточия («...»). [25] [26] Например, набор из первой тысячи натуральных чисел может быть указан в записи реестра как:

{1, 2, 3, ..., 1000},

где многоточие означает, что список продолжается по установленному шаблону. [25]

Бесконечные множества в записи реестра [ править ]

В некоторых наборах есть бесконечный список элементов. Их называют бесконечными множествами . Например, набор целых чисел, включая положительные, отрицательные и нулевые, представляет собой бесконечный набор. В реестровой записи этот набор может быть записан одним многоточием:

{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ...}

или, альтернативно, используя два:

{...- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...}

Обозначения создателя множеств [ править ]

Нотация строителя множеств - еще один интенсиональный метод описания множества, который часто встречается в математических текстах. [16] Набор определяется как выбор из большего набора, определяемый условием, включающим элементы. [27] [28] Например, множество F можно определить следующим образом:

F

или же:

F

В этом обозначении вертикальная черта («|») означает «такой, что», и описание можно интерпретировать как « F - это набор всех чисел n , таких, что n является целым числом в диапазоне от 0 до 19 включительно» . Некоторые авторы используют двоеточие (":") вместо вертикальной черты. [29]

Членство [ править ]

Если B является набором, а x является элементом B , это записывается сокращенно как xB , что также может читаться как «x принадлежит B» или «x находится в B» . [11] Выражение «y не является элементом B» записывается как yB , что также может читаться как «y не входит в B» . [30] [14] [31]

Например, относительно наборов A = {1, 2, 3, 4}, B = {синий, белый, красный} и F = { n | n - целое число и 0 ≤ n ≤ 19},

4 ∈ A и 12 ∈ F ; и
20 ∉ F и зеленый ∉ B .

Пустой набор [ править ]

Пустое множество или пустое множество , множество каких - либо элементов, обозначенное {} или ∅, является уникальным. [32] [14] [33] Также используются другие обозначения (см. Пустой набор ). [14]

Наборы синглтонов [ править ]

Набор ровно с одним элементом, x , является единичным набором или одиночным элементом , { x }. [5]

Набор { x } семантически отличается от элемента x . (Халмос [34] проводит аналогию, что коробка со шляпой не то же самое, что и шляпа.)

Подмножества [ править ]

Если каждый элемент множества А также находится в B , то описан как являющийся подмножеством B , или содержится в B , написанный B . [35] BA означает, что B содержит A , B включает A или B является надмножеством A ; Вэквивалентно B . [36] [14] отношения между множествами , установленных ⊆ называется включение или сдерживания . Два множества равны , если они содержат друг друга: B и Bэквивалентно A = B . [27]

Если является подмножеством B , но не равно B , то называется собственное подмножество из B . Это можно записать AB . Аналогично, Бозначает Б является собственным подмножеством множества А , т.е. Б содержит A , а не равна A .

Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется разными авторами по-разному: некоторые авторы используют AB и BA, чтобы обозначить A - любое подмножество B (и не обязательно собственное подмножество), [37] [30], в то время как другие резерв B и Bдля случаев , когда является собственным подмножеством B . [35]

Примеры:

  • Набор всех людей - это правильное подмножество всех млекопитающих.
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Пустой набор является подмножеством каждого набора, [32] и каждый набор является подмножеством самого себя: [37]

  • ∅ ⊆ .
  • .

Диаграммы Эйлера и Венна [ править ]

Является подмножеством из B

Эйлер Диаграмма представляет собой графическое изображение из набора в качестве замкнутого контура, охватывающего его элементы, или отношения между различными наборами, как замкнутые петлями. Если два набора не имеют общих элементов, петли не перекрываются.

Это отличается от диаграммы Венна , которая показывает все возможные отношения между двумя или более наборами, причем каждый цикл перекрывает другие.

Специальные наборы чисел в математике [ править ]

В натуральных числах ℕ содержатся в целых ℤ, которые содержатся в рациональных числах ℚ, которые содержатся в действительных числах ℝ, которые содержатся в комплексных числах

Существуют такие математически важные наборы, на которые математики обращаются так часто, что они приобрели специальные названия и условные обозначения для их идентификации.

Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах жирным шрифтом (например, Z ) или жирным шрифтом на доске (например ). [38] К ним относятся: [14]

  • N или, обозначая множество всех натуральных чисел : N = {0, 1, 2, 3, ...} (некоторые авторы исключают 0 ) [38]
  • Z или, обозначая набор всех целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} [38]
  • Q или, обозначая множество всех рациональных чисел (то есть множество всех собственных и несобственных дробей ): Q = { a / b | a , bZ , b ≠ 0} , например, 1/4 ∈ Q и 11/6 ∈ Q , и поскольку каждое целое число n может быть выражено как дробь n / 1 , все целые числа являются членами этого множества () [38]
  • R или, обозначая множество всех действительных чисел , включая все рациональные числа, вместе со всеми иррациональными числами (то есть алгебраические числа, которые нельзя переписать в виде дробей, таких как2 , а также трансцендентных чисел, таких как π , e ) [ 38]
  • C или, обозначая множество всех комплексных чисел : C = { a + bi | a , bR } , например, 1 + 2 iC [38]

Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов, и каждый может рассматриваться как надлежащее подмножество наборов, перечисленных ниже.

Наборы положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет собой набор положительных рациональных чисел.

Сопоставления и индивидуальная переписка [ править ]

В математике, отображение или функции из множества A к множеству B есть отношение между двумя наборами, которая связывает каждый элемент множества A ровно с одним элементом множества B . Взаимно -однозначное соответствие или биекция - это отображение, в котором каждый элемент множества A сопряжен ровно с одним элементом множества B , а каждый элемент множества B спарен ровно с одним элементом множества A , так что не существует непарных элементы.

Мощность [ править ]

Мощность множества S , обозначенная | S |, является число членов S . [39] Например, если B = {синий, белый, красный}, то | B | = 3 . Повторяющиеся члены в записи реестра не учитываются, [40] [41] поэтому | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.

Более формально, два набора имеют одинаковую мощность, если между ними существует взаимно однозначное соответствие.

Мощность пустого множества равна нулю. [42]

Бесконечные множества и бесконечная мощность [ править ]

Список элементов некоторых наборов бесконечен или бесконечен . Например, множество натуральных чисел бесконечно. [27] Фактически, все специальные наборы чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность .

Некоторые бесконечные мощности больше других. Множества той же мощности, что и ℕ, называются счетными множествами . Пожалуй, одним из наиболее значительных результатов теории множеств является то, что множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел. [43] Наборы, мощность которых превышает набор натуральных чисел, называются несчетными наборами .

Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. Е. Количество точек на прямой) такая же, как мощность любого сегмента этой прямой, всей плоскости и даже любого конечномерного евклидова пространство . [44]

Гипотеза континуума [ править ]

Гипотеза континуума Георга Кантора в 1878 году утверждала, что не существует множеств с мощностью между счетным множеством и мощностью прямой. [45] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC, наиболее широко изучаемая версия аксиоматической теории множеств). [46]

Наборы мощности [ править ]

Набор мощности множества S есть множество всех подмножеств S . [27] пустое множество , а S сам по себе являются элементами множества мощности S , потому что они оба являются подмножествами S . Например, набор степеней для {1, 2, 3} равен {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}}. Набор мощности множества S обычно записывается в виде P ( S ) или 2 P . [27] [47] [14] [15]

Набор мощности конечного набора из n элементов состоит из 2 n элементов. [48] Например, набор {1, 2, 3} содержит три элемента, а показанный выше набор мощности содержит 2 3 = 8 элементов.

Набор мощности бесконечного (либо счетного, либо несчетного ) множества всегда неисчислим. Более того, набор мощности набора всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что нет способа спарить каждый элемент S ровно с одним элементом P ( S ). (Никогда не бывает на карте или сюръекции из S на P ( S ).) [49]

Разделы [ править ]

Разбиение множества S представляет собой набор непустых подмножеств S , такие , что каждый элемент х в S является точно одной из этих подмножеств. То есть, подмножества попарно не пересекаются (то есть любые два набора раздела не содержат ни одного общего элемента), а также объединение всех подмножеств разбиения S . [50] [51]

Основные операции [ править ]

Есть несколько основных операций для построения новых множеств из заданных множеств.

Союзы [ править ]

Объединение из A и B , обозначаемое AB

Два набора можно «сложить» вместе. Объединение из A и B , обозначим через A  ∪  B , [14] является множеством всех вещей , которые являются членами либо A или B .

Примеры:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Некоторые основные свойства союзов:

  • B = B.
  • ∪ ( BC ) = ( B ) ∪ C .
  • A ⊆ ( AB ).
  • = A .
  • ∪ ∅ = .
  • B тогда и только тогда , когда AB = B .

Перекрестки [ править ]

Новый набор также можно построить, определив, какие элементы у двух наборов «общие». Пересечение из A и B , обозначается AB , [14] является множеством всех вещей , которые являются членами как A и B . Если AB = ∅, то A и B называются не пересекающимися .

Пересечение из A и B , обозначается B .

Примеры:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Некоторые основные свойства перекрестков:

  • B = B.
  • ∩ ( BC ) = ( B ) ∩ C .
  • B.
  • = A .
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • B тогда и только тогда , когда AB = A .

Дополнения [ править ]

Относительное дополнение
из B в A
Дополнение из А в U
Симметрическая разность из A и B

Два набора также можно «вычесть». Относительное дополнение из B в A (также называемый теоретико-множественная разность из A и B ), обозначим через A \ B (или A - B ), [14] представляет собой множество всех элементов , которые являются членами A, но не члены B . Допустимо «вычитать» элементы набора, которых нет в наборе, например, удаление зеленого элемента из набора {1, 2, 3}; это не повлияет на элементы в наборе.

В определенных условиях, все наборы Обсуждаемые считаются подмножества данного универсального множества U . В таких случаях U \ A называется абсолютным дополнением или просто дополнением к A и обозначается A 'или A c . [14]

  • A ′ = U \ A

Примеры:

  • {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
  • {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
  • Если U есть множество целых чисел, Е есть множество четных чисел, и О представляет собой множество нечетных чисел, то U \ Е = Е '= О .

Некоторые основные свойства дополнений включают следующее:

  • \ BB \ для AB .
  • '= U .
  • AA ′ = ∅.
  • ( ')' = .
  • ∅ \ A = ∅.
  • \ ∅ = .
  • А \ А = ∅.
  • А \ U = ∅.
  • A \ A ′ = A и A ′ \ A = A ′.
  • U '= ∅ и ∅ = U .
  • A \ B = AB .
  • если AB, то A \ B = ∅.

Расширением дополнения является симметричная разность , определенная для множеств A , B как

Например, симметричная разность {7, 8, 9, 10} и {9, 10, 11, 12} - это набор {7, 8, 11, 12}. Множество степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей в виде сложения кольца (с пустым набором в качестве нейтрального элемента) и пересечения как умножения кольца.

Декартово произведение [ править ]

Новый набор может быть построен путем связывания каждого элемента одного набора с каждым элементом другого набора. Декартово произведение двух множеств A и B , обозначим через A × B, [14] представляет собой множество всех упорядоченных пар ( , б ) такие , что является членом A и B является членом B .

Примеры:

  • {1, 2} × {красный, белый, зеленый} = {(1, красный), (1, белый), (1, зеленый), (2, красный), (2, белый), (2, зеленый) }.
  • {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
  • {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Некоторые основные свойства декартовых произведений:

  • A × = ∅.
  • A × ( BC ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
  • ( AB ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ).

Пусть A и B - конечные множества; тогда мощность декартова произведения равна произведению мощностей:

  • | A × B  | = | B × A  | = | А  | × | B  |,

Приложения [ править ]

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , являются наборами, замкнутыми при выполнении одной или нескольких операций.

Одно из основных приложений теории наивных множеств - построение отношений . Отношение из области А к области значений B является подмножеством декартова произведения × B . Например, рассматривая множество фигур S = {камень, бумага, ножницы} в одноименной игре , отношение "ударов" от S к S будет набором B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень ), (камень, ножницы)}; таким образом, x побеждает y в игре, если пара ( x , y ) является членом B. Другой пример - множество F всех пар ( x , x 2 ), где x вещественное число. Это отношение является подмножеством R × R , потому что множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R одна и только одна пара ( x , ...) находится в F , она называется функцией . В функциональных обозначениях это соотношение можно записать как F ( x ) = x 2 .

Принцип включения и исключения [ править ]

Принцип включения-исключения можно использовать для вычисления размера объединения множеств: размер объединения равен размеру двух множеств за вычетом размера их пересечения.

Принцип включения-исключения - это метод подсчета, который можно использовать для подсчета количества элементов в объединении двух наборов - если размер каждого набора и размер их пересечения известны. Это можно символически выразить как

Более общая форма принципа может быть использована для определения мощности любого конечного объединения множеств:

Законы Де Моргана [ править ]

Огастес Де Морган сформулировал два закона о множествах.

Если A и B - любые два набора, то

  • (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′

Дополнение к A union B равно дополнению к A, которое пересекается с дополнением к B.

  • (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′

Дополнение A, пересекающееся с B, равно дополнению A union до дополнения B.

См. Также [ править ]

  • Алгебра множеств
  • Альтернативная теория множеств
  • Аксиоматическая теория множеств
  • Категория наборов
  • Класс (теория множеств)
  • Плотный набор
  • Семейство наборов
  • Нечеткое множество
  • Внутренний набор
  • Математический объект
  • Мереология
  • Multiset
  • Наивная теория множеств
  • Principia Mathematica
  • Грубый набор
  • Парадокс Рассела
  • Последовательность (математика)
  • Установить обозначение
  • Таксономия
  • Кортеж
  • Диаграмма Венна

Примечания [ править ]

  1. ^ П. К. Джайн; Халил Ахмад; Ом П. Ахуджа (1995). Функциональный анализ . New Age International. п. 1. ISBN 978-81-224-0801-0.
  2. Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: введение . Курьерская корпорация. п. 2. ISBN 978-0-486-65252-8.
  3. ^ Томас Х .. Кормен; Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы . MIT Press. п. 1070. ISBN 978-0-262-03293-3.
  4. ^ a b c Халмос 1960 , стр. 1.
  5. ^ a b Столл, Роберт (1974). Множества, логические и аксиоматические теории . WH Freeman and Company. С.  5 .
  6. ^ Хосе Ferreiros (16 августа 2007). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-7643-8349-7.
  7. Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические работы Бернарда Больцано . ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-151370-1.
  8. ^ Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта до Гильберта Том 1: Справочник по основам математики . ОУП Оксфорд. п. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
  9. ^ Пол Rusnock; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернар Больцано: его жизнь и работа . ОУП Оксфорд. п. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
  10. ^ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." «Архивная копия» . Архивировано 10 июня 2011 года . Проверено 22 апреля 2011 .CS1 maint: archived copy as title (link)
  11. ^ а б Халмос 1960 , стр. 2.
  12. Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8.
  13. ^ Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума . McGraw Hill Professional. п. 1. ISBN 978-0-07-136841-4.
  14. ^ a b c d e f g h i j k l m "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 19 августа 2020 .
  15. ^ a b c «Введение в наборы» . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 .
  16. ^ a b c Фрэнк Руда (6 октября 2011 г.). Чернь Гегеля: Исследование философии права Гегеля . Bloomsbury Publishing. п. 151. ISBN. 978-1-4411-7413-0.
  17. ^ Халмош 1960 , стр. 4.
  18. ^ Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход . CRC Press. п. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3.
  19. ^ Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практическое применение (версия Docutech) . WH Freeman. п. 220. ISBN 978-0-7167-6297-3.
  20. ^ Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход . CRC Press. п. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3.
  21. ^ Игнасио Белло; Антон Каул; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики . Cengage Learning. п. 47. ISBN 1-133-10742-7.
  22. Сюзанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями . Cengage Learning. п. 13. ISBN 0-495-39132-8.
  23. ^ Стивен Б. Маурер; Энтони Ральстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика . CRC Press. п. 11. ISBN 978-1-4398-6375-6.
  24. ^ Д. Ван Дален; HC Doets; Х. Де Сварт (9 мая 2014 г.). Наборы: наивный, аксиоматический и прикладной: базовый сборник с упражнениями для использования в теории множеств для нелогиков, работающих и обучающих математиков и студентов . Elsevier Science. п. 1. ISBN 978-1-4831-5039-0.
  25. ^ a b Альфред Баста; Стефан Делонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий . Cengage Learning. п. 3. ISBN 1-285-60843-7.
  26. ^ Лаура Бракен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра . Cengage Learning. п. 36. ISBN 0-618-95134-2.
  27. ^ a b c d e Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику . Роуман и Литтлфилд. п. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.
  28. Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Set . mathworld.wolfram.com . Проверено 19 августа 2020 .
  29. ^ Ralph C. Steinlage (1987). Колледж алгебры . Западная издательская компания. ISBN 978-0-314-29531-6.
  30. ^ a b Марек Капински; Питер Э. Копп (2004). Мера, интеграл и вероятность . Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN 978-1-85233-781-0.
  31. ^ "Установить символы" . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 .
  32. ^ а б Халмос 1960 , стр. 8.
  33. ^ KT Leung; Дорис Лай-чуэ Чен (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I / II . Издательство Гонконгского университета. п. 27. ISBN 978-962-209-026-2.
  34. ^ Халмош 1960 , § 2.
  35. ^ a b Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств . American Mathematical Soc. п. 30. ISBN 978-0-8218-3835-8.
  36. ^ Питер Комнинос (6 апреля 2010). Методы математического и компьютерного программирования для компьютерной графики . Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-1-84628-292-8.
  37. ^ а б Халмос 1960 , стр. 3.
  38. ^ a b c d e е Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств . Издательство Кембриджского университета. п. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
  39. ^ Яннис Н. Московакиса (1994). Заметки по теории множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4.
  40. Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: конечные пределы вычислений . World Scientific. п. 3. ISBN 978-981-02-4500-9.
  41. ^ Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов . Математическая ассоциация Америки. п. 7. ISBN 978-1-939512-07-9.
  42. Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность . Cengage Learning. п. 401. ISBN. 0-495-38913-7.
  43. Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Реальные числа: Введение в теорию множеств и анализ . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4.
  44. Дэвид Толл (11 апреля 2006 г.). Продвинутое математическое мышление . Springer Science & Business Media. п. 211. ISBN. 978-0-306-47203-9.
  45. ^ Кантор, Георг (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre" . Журнал für die Reine und Angewandte Mathematik . 84 (84): 242–258. DOI : 10,1515 / crll.1878.84.242 .
  46. Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C . DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858 . PMC 221287 . PMID 16578557 .   
  47. ^ Халмош 1960 , стр. 19.
  48. ^ Халмош 1960 , стр. 20.
  49. ^ Эдвард Б. Бургер; Майкл Старберд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Springer Science & Business Media. п. 183. ISBN. 978-1-931914-41-3.
  50. ^ Toufik Мансур (27 июля 2012). Комбинаторика разбиения множеств . CRC Press. ISBN 978-1-4398-6333-6.
  51. ^ Халмош 1960 , стр. 28.

Ссылки [ править ]

  • Даубен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . Бостон: Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-691-02447-2.
  • Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. ISBN 0-387-90092-6.
  • Столл, Роберт Р. (1979). Теория множеств и логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-63829-4.
  • Веллеман, Даниэль (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-67599-5.

Внешние ссылки [ править ]

  • Кантора "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (на немецком языке)