Страница полузащищенная

Периметр

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Периметр - это расстояние вокруг двухмерной формы, измерение расстояния вокруг чего-либо; длина границы.

Периметра является либо путем , который охватывает / окружает / очерчивает формудвух измерениях ) или его длина ( одномерный ). Периметр круга или эллипса называется его окружностью .

Расчет периметра имеет несколько практических применений. Расчетный периметр - это длина забора, необходимая для окружения двора или сада. Периметр колеса / круга (его окружность) описывает, как далеко оно покатится за один оборот . Точно так же количество струны, намотанной на катушку, связано с периметром катушки; если бы длина веревки была точной, она равнялась бы периметру.

Формулы

формаформулапеременные
круггде - радиус круга, а - диаметр.
треугольникгде , и - длины сторон треугольника.
квадрат / ромбгде - длина стороны.
прямоугольникгде - длина, а - ширина.
равносторонний многоугольникгде - количество сторон, а - длина одной из сторон.
правильный многоугольникгде - количество сторон, а - расстояние между центром многоугольника и одной из вершин многоугольника.
общий многоугольникгде - длина -й (1-й, 2-й, 3-й ... n- й) стороны n- стороннего многоугольника.
кардиоид (рисунок с )



Периметр - это расстояние вокруг фигуры. Периметры для более общих форм могут быть рассчитаны, как и любой путь , с помощью , где - длина пути, а - бесконечно малый линейный элемент. Оба они должны быть заменены алгебраическими формами, чтобы их можно было вычислить на практике. Если периметр задан в виде замкнутой кусочно гладкой плоской кривой с

тогда его длину можно вычислить следующим образом:

Обобщенное понятие периметра, которое включает гиперповерхности, ограничивающие объемы в - мерных евклидовых пространствах , описывается теорией множеств Каччопполи .

Полигоны

Периметр прямоугольника.

Многоугольники имеют фундаментальное значение для определения периметров не только потому, что они являются простейшими формами, но и потому, что периметры многих форм вычисляются путем их аппроксимации последовательностями многоугольников, стремящихся к этим формам. Первым математиком, который, как известно, использовал этот вид рассуждений, был Архимед , который аппроксимировал периметр круга, окружив его правильными многоугольниками .

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон (ребер) . В частности, периметр прямоугольника шириной и длиной равен

Равносторонний многоугольник представляет собой многоугольник , который имеет все стороны одинаковой длины (например, ромб представляет собой 4-сторонний равносторонний многоугольник). Чтобы вычислить периметр равностороннего многоугольника, нужно умножить общую длину сторон на количество сторон.

Правильный многоугольник может характеризоваться числом его сторон и его описанной окружности , то есть сказать, постоянное расстояние между его центром и каждой из его вершин . Длину его сторон можно рассчитать с помощью тригонометрии . Если R - радиус правильного многоугольника, а n - количество его сторон, то его периметр равен

Разделитель из треугольника является cevian (отрезок от вершины до противоположной стороны) , который делит периметр на две равные длины, эта общая длина Называния -полупериметра треугольника. Все три разделителя треугольника пересекаются друг с другом в точке Нагеля треугольника.

Скалыватель треугольника представляет собой сегмент от середины стороны треугольника к противоположной стороне таким образом, что периметр разделен на две равные длины. Все три ножа треугольника пересекаются друг с другом в центре треугольника Шпикера .

Окружность круга

Если диаметр круга равен 1, его длина равна π .

Периметр круга , часто называемый окружностью, пропорционален его диаметру и радиусу . Другими словами, существует постоянное число пи , π (от греческого p, обозначающее периметр), такое, что если P - периметр круга, а D - его диаметр, то,

В терминах радиуса r круга эта формула принимает следующий вид:

Чтобы вычислить периметр круга, достаточно знать его радиус или диаметр и число π . Проблема в том, что π не является рациональным (оно не может быть выражено как отношение двух целых чисел ) и не является алгебраическим (оно не является корнем полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). Таким образом, получение точного приближения π важно при расчетах. Вычисление цифр числа π актуально во многих областях, таких как математический анализ , алгоритмика и информатика .

Восприятие периметра

Чем больше обрезается эта форма, тем меньше площадь и больше периметр. Выпуклая оболочка остается тем же самым .
Neuf-Brisach Обогащение периметр осложнено. Кратчайший путь вокруг него - по выпуклой оболочке .

Периметр и площадь - две основные меры геометрических фигур. Распространенная ошибка - сбивать их с толку, равно как и полагать, что чем больше один из них, тем сильнее должен быть другой. Действительно, обычное наблюдение состоит в том, что увеличение (или уменьшение) формы приводит к увеличению (или уменьшению) ее площади (или уменьшения), а также ее периметра. Например, если поле нарисовано на карте масштаба 1/10 000, фактический периметр поля можно вычислить, умножив периметр чертежа на 10 000. Реальная площадь 10,000 2умножить на площадь фигуры на карте. Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром обычной формы. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 немного больше 2000, а периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Обе площади равны 1.

Прокл (V век) сообщил, что греческие крестьяне «справедливо» разделили поля по их периметру. [1] Однако продуктивность поля пропорциональна его площади, а не периметру, поэтому многие наивные крестьяне могли получить поля с длинным периметром, но небольшими площадями (таким образом, мало урожая).

Если убрать кусок из фигуры, его площадь уменьшится, а периметр - нет. В случае очень неправильной формы может возникнуть путаница между периметром и выпуклой оболочкой . Выпуклый корпус фигуры можно представить себе как форму, образованную натянутой вокруг нее резинкой. На анимированной картинке слева все фигуры имеют одинаковую выпуклую оболочку; большой, первый шестиугольник .

Изопериметрия

Изопериметрическая задача состоит в том, чтобы определить фигуру с наибольшей площадью среди фигур с заданным периметром. Решение интуитивно понятно; это круг . В частности, этим можно объяснить, почему капли жира на поверхности бульона имеют круглую форму.

Эта проблема может показаться простой, но ее математическое доказательство требует некоторых сложных теорем. Изопериметрическую задачу иногда упрощают, ограничивая тип используемых фигур. В частности, чтобы найти четырехугольник , треугольник или другую конкретную фигуру с наибольшей площадью среди фигур той же формы, имеющих заданный периметр. Решением четырехугольной изопериметрической задачи является квадрат , а решением проблемы треугольника - равносторонний треугольник . В общем, многоугольник с n сторонами, имеющий наибольшую площадь и заданный периметр, является правильным многоугольником , который ближе к окружности, чем любой неправильный многоугольник с тем же числом сторон.

Этимология

Слово происходит от греческого περίμετρος perimetros из περί пери «вокруг» и μέτρον Metron «мера».

Смотрите также

  • Длина дуги
  • Площадь
  • Парадокс береговой линии
  • Обхват (геометрия)
  • теорема Пифагора
  • Площадь поверхности
  • Объем
  • Смачиваемый периметр

Рекомендации

  1. Перейти ↑ Heath, T. (1981). История греческой математики . 2 . Dover Publications . п. 206. ISBN. 0-486-24074-6.

внешняя ссылка

  • Вайсштейн, Эрик В. «Периметр» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Полупериметр» . MathWorld .