Изображение (математика)

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
е является функцией от домена X в кообласть Y . Желтый овал внутри Y - это изображение f .

В математике , то изображение из функции является множество всех выходных значений оно может произвести.

В более общем плане , оценивая данную функцию п на каждом элементе данного подмножества A своей области производит набор, называемый « образ из А под (или через) F ». Аналогичным образом , прообраз (или прообраз ) данное подмножество B из области значений из F , представляет собой совокупность всех элементов области , что карта для членов B .

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение [ править ]

Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях, F  : XY является функцией от множества X на множество Y .

Изображение элемента [ править ]

Если х является членом X , то образ х при е , обозначим е ( х ), [1] это значение из F , когда применяется к х. f ( x ) также известен как результат f для аргумента x .

Изображение подмножества [ править ]

Изображение подмножества AX при F , обозначаемой , является подмножеством Y , которые могут быть определены с использованием набора-строитель обозначений следующим образом : [2]

Когда нет риска путаницы, просто пишется как . Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает F [.] Функция, домен представляет собой набор мощности из X (множество всех подмножеств из X ), и чей кообласть есть множество сила Y . Подробнее см. § Обозначения ниже.

Изображение функции [ править ]

Изображение функции является изображением всей его области , также известной как диапазон функции. [3]

Обобщение на бинарные отношения [ править ]

Если R - произвольное бинарное отношение на X × Y , то множество {y∈ Y | хКа для некоторых хХ } называется изображение, или диапазон, в R . Двойственно множество { xX | хКа для некоторого y∈ Y } называется область R .

Обратное изображение [ править ]

Пусть F является функцией от X до Y . Прообраз или прообраз множества BY при F , обозначаемое , это подмножество X определяется

Другие обозначения включают f  −1 ( B ) [4] и f  - ( B ) . [5] Обратный образ одноточечного , обозначим через F  -1 [{ у }] , или F  -1 [ г ], также называют волокна над у или множества уровня от у . Множество всех слоев над элементами Y представляет собой семейство множеств , индексированных Y .

Например, для функции f ( x ) = x 2 прообраз {4} будет {−2, 2}. Опять же, если нет риска путаницы, f  −1 [ B ] можно обозначить как f  −1 ( B ), а f  −1 также можно рассматривать как функцию от набора степеней Y к множеству степеней X . Обозначение f  −1 не следует путать с обозначением обратной функции , хотя оно совпадает с обычным обозначением для биекций в том, что прообраз B при fявляется образом B при f  −1 .

Обозначения для изображения и инверсии [ править ]

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернатива [6] - дать явные имена для изображения и прообраза как функции между наборами степеней:

Обозначение стрелки [ править ]

  • с
  • с

Обозначение звезд [ править ]

  • вместо
  • вместо

Другая терминология [ править ]

  • Альтернативная обозначение F [ ] используется в математической логике и теории множеств является F  " A . [7] [8]
  • Некоторые тексты относятся к образу е в пределах е , но это использование следует избегать , так как слова «диапазон» также часто используется для обозначения кообласти о е .

Примеры [ править ]

  1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } определено
    Изображение множества {2, 3} при F является F ({2, 3}) = { а, с }. Изображение функции F является { а, с }. Прообразом из является F  -1 ({ }) = {1, 2}. Прообраз из { а, Ь } также {1, 2}. Прообраз { b , d } - это пустое множество {}.
  2. f : RR определяется как f ( x ) = x 2 .
    Изображения из {-2, 3} при F является F ({-2, 3}) = {4, 9}, и изображение из F является R + . Прообразом из {4, 9} при F является F  -1 ({4, 9}) = {-3, -2, 2, 3}. Прообраз множества N = { nR | n <0} под f - это пустой набор, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел.
  3. f : R 2R определяется как f ( x , y ) = x 2 + y 2 .
    Эти волокна F  -1 ({ }) являются концентрические круги о происхождении , самого происхождения, и пустое множество , в зависимости от того , > 0, в = 0, или в <0, соответственно.
  4. Если М является многообразием и π : ТММ является канонической проекцией из касательного расслоения ТМ на М , то волокна из П являются касательные пространства Т х ( М ) для хM . Это также пример пучка волокон .
  5. Фактор-группа - это гомоморфный образ.

Свойства [ править ]

Контрпримеры, основанные на
f : → ℝ, xx 2 , показывающие,
что равенство обычно
не обязательно для некоторых законов:
е ( А 1А 2 ) ⊊ е ( А 1 ) ∩ е ( А 2 )
f ( f −1 ( B 3 )) ⊊ B 3
f −1 ( f ( A 4 )) ⊋ A 4

Общие [ править ]

Для каждой функции и всех подмножеств и выполняются следующие свойства:

ИзображениеПрообраз

(равно, если , например , сюръективно) [9] [10]

(равно, если инъективно) [9] [10]
[9]
[11][11]
[11][11]

Также:

Несколько функций [ править ]

Для функций и с подмножествами и выполняются следующие свойства:

Множественные подмножества домена или кодомена [ править ]

Для функции и подмножеств и выполняются следующие свойства:

ИзображениеПрообраз
[11] [12]
[11] [12]
(равно, еслиинъективно [13] )
[11]
(равно, еслиинъективно [13] )
[11]

(равно, если инъективно)

Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

(Здесь S может быть бесконечным, даже бесконечно бесконечным .)

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , в то время как функция изображения является только полурешеточным гомоморфизмом (т. Е. Она не всегда сохраняет пересечения).

См. Также [ править ]

  • Биекция, инъекция и сюръекция
  • Изображение (теория категорий)
  • Ядро функции
  • Установить инверсию

Примечания [ править ]

  1. ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 28 августа 2020 .
  2. ^ "5.4: Функции и изображения / прообразы наборов" . Математика LibreTexts . 2019-11-05 . Проверено 28 августа 2020 .
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изображение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 .
  4. ^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 28 августа 2020 .
  5. ^ Dolecki & Mynard 2016 , стр. 4-5.
  6. Перейти ↑ Blyth 2005 , p. 5.
  7. ^ Жан Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика . Холден-Дэй. п. xix. ASIN B0006BQH7S . 
  8. М. Рэндалл Холмс: Неоднородность мочевых элементов в обычных моделях NFU , 29 декабря 2005 г., на: Semantic Scholar, p. 2
  9. ^ a b c См. Halmos 1960 , p. 39
  10. ^ a b См. Munkres 2000 , p. 19
  11. ^ a b c d e f g h См. стр.388 Lee, John M. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
  12. ^ а б Келли 1985 , стр. 85
  13. ^ a b См. Munkres 2000 , p. 21 год

Ссылки [ править ]

  • Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
  • Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
  • Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
  • Халмос, Пол Р. (1960). Теория наивных множеств . Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl  0087.04403 .
  • Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
  • Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

В эту статью включены материалы из Fiber on PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .