Гиперповерхность

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии , A гиперповерхность представляет собой обобщение понятий гиперплоскости , плоские кривые и поверхности . Гиперповерхность - это многообразие или алгебраическое многообразие размерности n - 1 , которое вложено в объемлющее пространство размерности n , как правило, в евклидово пространство , аффинное пространство или проективное пространство . [1] Гиперповерхности разделяют, как и поверхности в трехмерном пространстве , свойство определяться одним неявным уравнением., по крайней мере, локально (около каждой точки), а иногда и глобально.

Гиперповерхность в (евклидовом, аффинном или проективном) пространстве размерности два - это плоская кривая. В трехмерном пространстве это поверхность.

Например, уравнение

определяет алгебраическую гиперповерхность размерности n - 1 в евклидовом пространстве размерности n . Эта гиперповерхность также является гладким многообразием и называется гиперсферой или ( n - 1) -сферой .

Гладкая гиперповерхность [ править ]

Гиперповерхность, являющаяся гладким многообразием , называется гладкой гиперповерхностью .

В R n гладкая гиперповерхность ориентируема . [2] Каждая связная компактная гладкая гиперповерхность является множеством уровня и разделяет R n на две связные компоненты; это связано с теоремой Жордана – Брауэра об отделимости . [3]

Аффинная алгебраическая гиперповерхность [ редактировать ]

Алгебраическая гиперповерхность представляет собой алгебраическое многообразие , которое может быть определено с помощью одного неявного уравнения вида

где p - многомерный многочлен . Обычно предполагается, что многочлен неприводимый . Когда это не так, гиперповерхность не является алгебраическим многообразием, а всего лишь алгебраическим множеством . Это может зависеть от авторов или контекста, определяет ли приводимый многочлен гиперповерхность. Во избежание двусмысленности часто используется термин неприводимая гиперповерхность .

Что касается алгебраических многообразий, коэффициенты определяющего полинома могут принадлежать к какому - либо фиксированному полю к , а точки гиперповерхностей являются нулями из р в аффинном пространстве , где K является алгебраически замкнутым расширением в к .

Гиперповерхность может иметь особенности , которые являются общими нулями определяющего полинома и его частных производных, если таковые имеются. В частности, вещественная алгебраическая гиперповерхность не обязательно является многообразием.

Свойства [ править ]

Гиперповерхности обладают некоторыми специфическими свойствами, которые не присущи другим алгебраическим разновидностям.

Одним из основных таких свойств является Nullstellensatz Гильберта , который утверждает, что гиперповерхность содержит алгебраическое множество тогда и только тогда, когда определяющий многочлен гиперповерхности имеет мощность, которая принадлежит идеалу, порожденному определяющими многочленами алгебраического множества.

Следствие этой теоремы состоит в том, что если два неприводимых многочлена (или, в более общем случае, два многочлена без квадратов ) определяют одну и ту же гиперповерхность, то один является произведением другого на ненулевую константу.

Гиперповерхности в точности подмногообразие размерности п - 1 из аффинного пространства размерности п . Это геометрическая интерпретация того факта, что в кольце многочленов над полем высота идеала равна 1 тогда и только тогда, когда идеал является главным идеалом . В случае возможно приводимых гиперповерхностей этот результат можно переформулировать следующим образом: гиперповерхности - это в точности алгебраические множества, все неприводимые компоненты которых имеют размерность n - 1 .

Реальные и рациональные точки [ править ]

Вещественная гиперповерхность гиперповерхность , которая определяется полиномом с вещественными коэффициентами. В этом случае алгебраически замкнутое поле, над которым определены точки, обычно является полем комплексных чисел. В реальных точек вещественной гиперповерхности точки , которые принадлежат Множество вещественных точек вещественной гиперповерхности является действительной частью гиперповерхности. Часто вопрос о том, относится ли термин гиперповерхность ко всем точкам или только к реальной части, остается в зависимости от контекста .

Если коэффициенты определяющего полинома принадлежат полю k , которое не является алгебраически замкнутым (обычно поле рациональных чисел , конечное поле или числовое поле ), говорят, что гиперповерхность определена над k , а точки, принадлежащие являются рациональными над к (в случае поля рациональных чисел «над к » , как правило , опущены).

Например, мнимая n- сфера, определяемая уравнением

- реальная гиперповерхность без реальной точки, определенная над рациональными числами. У него нет рациональной точки, но есть много точек, которые рациональны по сравнению с гауссовскими рациональными числами .

Проективная алгебраическая гиперповерхность[ редактировать ]

Проективный (алгебраический) гиперповерхность размерности п - 1 в проективном пространстве размерности п над полем к определяются однородным многочленом в п + 1 неизвестных. Как обычно, однородный многочлен означает , что все мономы из Р имеют одинаковую степень, или, что то же самое , что для каждой постоянной с , где d является степень многочлена. В точках гиперповерхности являются точками проективного пространства , чьи проективных координатынули P .

Если выбрать гиперплоское уравнение как гиперплоскость на бесконечности , дополнение этой гиперплоскости является аффинным пространством , а точки проективной hypersuface, принадлежащего этим аффинного пространство образует аффинную гиперповерхность уравнения Обратно, аффинная гиперповерхность уравнения оно определяет проективную гиперповерхность, называемую ее проективным пополнением , уравнение которой получается усреднением p . То есть, уравнение проективной завершенности с

где d является степень P .

Эти два процесса проективного пополнения и ограничения на аффинное подпространство обратны друг другу. Следовательно, аффинная гиперповерхность и ее проективное пополнение имеют по существу одинаковые свойства и часто рассматриваются как две точки зрения на одну и ту же гиперповерхность.

Однако может случиться так, что аффинная гиперповерхность невырожденна , а ее проективное пополнение имеет особые точки. В этом случае говорят, что аффинная поверхность сингулярна на бесконечности . Например, круговой цилиндр уравнения

в аффинном пространстве размерности три имеет единственную особую точку, находящуюся на бесконечности в направлении x = 0, y = 0 .

См. Также [ править ]

  • Аффинная сфера
  • Гиперповерхность Coble
  • Семья Дворк
  • Нулевая гиперповерхность
  • Полярная гиперповерхность

Ссылки [ править ]

  1. ^ Ли, Джеффри (2009). «Кривые и гиперповерхности в евклидовом пространстве» . Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс: Американское математическое общество. С. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
  2. ^ Ханс Самельсон (1969) "Ориентируемость гиперповерхностей в R n ", Труды Американского математического общества 22 (1): 301,2
  3. ^ Лима, Илон Л. (1988). «Теорема Жордана-Брауэра об отделимости гладких гиперповерхностей». Американский математический ежемесячник . 95 (1): 39–42. DOI : 10.1080 / 00029890.1988.11971963 .
  • "Гиперповерхность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Сошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1969), Основы дифференциальной геометрии, том II, Wiley Interscience
  • П.А. Симионеску и Д. Бил (2004) Визуализация гиперповерхностей и многомерных (целевых) функций путем частичной глобализации , Визуальный компьютер 20 (10): 665–81.