Аполлоний Пергский

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
В конических сечений , или двумерные фигуры , образованный пересечением плоскости с конусом под разными углами. Теория этих фигур была широко развита древнегреческими математиками, особенно сохранившись в таких работах, как работы Аполлония Пергского. Конические секции пронизывают современную математику.

Аполлоний Пергский ( греч . Ἀπολλώνιος ὁ εργαῖος ; лат . Apollonius Pergaeus ; ок.  240 г. до н.э.  - ок.  190 г. до н.э. ) был древнегреческим геометром и астрономом, известным своими работами по коническим сечениям . Начиная с работ Евклида и Архимеда по этой теме, он довел их до состояния до изобретения аналитической геометрии . Его определения терминов эллипс , парабола и гипербола те, которые используются сегодня.

Аполлоний работал над множеством других тем, включая астрономию. Большая часть этой работы не сохранилась, за исключением, как правило, фрагментов, на которые ссылаются другие авторы. Его гипотеза об эксцентрических орбитах для объяснения явно аберрантного движения планет, в которую обычно верили до средневековья, была отвергнута в эпоху Возрождения. Кратер Аполлония на Луне назван в его честь. [1]


Жизнь [ править ]

Для такого важного сотрудника в области математики остается скудная биографическая информация. Греческий комментатор VI века Евтокий из Аскалона , посвященный главному произведению Аполлония « Коникс» , утверждает: [2]

Геометрический Аполлоний ... приехал из Перги в Памфилии во времена Птолемея Эвергета, так пишет Гераклей, биограф Архимеда ...

Перга в то время была эллинизированным городом Памфилии в Анатолии . Руины города еще стоят. Это был центр эллинистической культуры. Эвергет, «благодетель», отождествляет Птолемея III Эвергета , третьего греческого династа Египта в преемственности диадохов. Предположительно, его «времена» - это его царствование, 246-222 / 221 гг. До н.э. Времена всегда записываются правителем или действующим судьей, так что, если бы Аполлоний родился раньше 246 года, это были бы «времена» отца Эвергета. Личность Гераклея неясна. Таким образом, приблизительные времена Аполлония известны, но точные даты не могут быть названы. [3] Цифра «Удельные годы рождения и смерти», указанные различными учеными, являются лишь предположениями. [4]

Евтокий, кажется, связывает Пергу с династией Птолемеев в Египте. Никогда не находившаяся под Египтом, Перга в 246 г. до н.э. принадлежала империи Селевкидов , независимому государству диадохов, управляемым династией Селевкидов. В течение последней половины 3-го века до нашей эры Перга несколько раз переходила из рук в руки, находясь то под властью Селевкидов, то под царством Пергама на севере, управляемым династией Атталидов . Можно было ожидать, что кто-то, названный «из Перги», жил и работал там. Напротив, если позже Аполлоний был отождествлен с Пергой, то не на основании его места жительства. Из оставшихся автобиографических материалов следует, что он жил, учился и писал в Александрии.

Письмо греческого математика и астронома Гипсикла изначально было частью дополнения к Книге XIV Евклида, входящей в тринадцать книг Элементов Евклида. [5]

Василид Тирский , о Протарх, когда он прибыл в Александрию и встретил моего отца, большую часть своего пребывания провел с ним из-за связи между ними из-за их общего интереса к математике. И однажды, глядя в трактат Аполлония о сравнении додекаэдра и икосаэдра,вписанные в одну и ту же сферу, то есть в вопросе о том, какое отношение они имеют друг к другу, они пришли к выводу, что трактовка этого Аполлонием в этой книге была неправильной; соответственно, как я понял от отца, они приступили к его исправлению и переписыванию. Но я сам впоследствии наткнулся на другую книгу, опубликованную Аполлонием, в которой демонстрировался рассматриваемый вопрос, и меня очень привлекло его исследование этой проблемы. Теперь книга, изданная Аполлонием, доступна всем; поскольку он имеет большое распространение в форме, которая, кажется, была результатом более поздней тщательной разработки. Со своей стороны, я решил посвятить вам то, что считаю необходимым, в виде комментария, отчасти потому, что вы сможете, благодаря своим знаниям во всех областях математики и особенно в геометрии,вынести экспертное суждение о том, что я собираюсь написать, и отчасти потому, что из-за вашей близости с моим отцом и вашего дружеского отношения ко мне вы окажете любезное внимание моим изысканиям. Но пора закончить с преамбулой и начать собственно трактат.

Времена Аполлония [ править ]

Аполлоний жил ближе к концу исторического периода, который теперь называется эллинистическим периодом , характеризовавшимся наложением эллинской культуры на обширные неэллинские регионы на разную глубину, радикальным в одних местах и ​​почти полностью в других. Изменения были инициированы Филиппом II Македонским и его сыном Александром Великим , которые, покорив всю Грецию в серии ошеломляющих побед, продолжили покорение Персидской империи , которая правила территориями от Египта до Пакистана. Филипп был убит в 336 г. до н. Э. Александр продолжил выполнение своего плана, завоевав обширную Персидскую империю.

Краткая автобиография Аполлония [ править ]

Материал находится в сохранившихся фальшивых «Предисловиях» к книгам его Коников. Это письма, доставленные влиятельным друзьям Аполлония с просьбой просмотреть книгу, приложенную к письму. Предисловие к Книге I, адресованное некоему Евдему, напоминает ему, что Коникс изначально был запрошен гостем дома в Александрии, геометром Навкратом, иначе неизвестным истории. К концу визита у Навкрата был первый черновик всех восьми книг. Аполлоний называет их «не имеющими полного очищения» ( ou diakatharantes по-гречески, ea non perpurgaremus по-латыни). Он намеревался проверить и исправить книги, выпуская каждую по мере ее завершения.

Услышав об этом плане от самого Аполлония во время последующего визита последнего в Пергам, Евдем настоял на том, чтобы Аполлоний послал ему каждую книгу перед выпуском. Обстоятельства предполагают, что на этом этапе Аполлоний был молодым геометром, ищущим компанию и совет опытных профессионалов. Папп утверждает, что он был с учениками Евклида в Александрии. Евклида давно не было. Это пребывание было, возможно, заключительным этапом обучения Аполлония. Евдем, возможно, был высокопоставленной фигурой в своем более раннем образовании в Пергаме; в любом случае есть основания полагать, что он был или стал руководителем Библиотечно-исследовательского центра ( Музейного) Пергама. Аполлоний далее утверждает, что первые четыре книги были посвящены развитию элементов, а последние четыре касались специальных тем.

Между Предисловиями I и II есть некоторый пробел. Аполлоний послал своего сына, тоже Аполлония, доставить II. Он говорит с большей уверенностью, предлагая Евдемусу использовать книгу в специальных учебных группах, что подразумевает, что Евдемус был высокопоставленным лицом, если не директором, в исследовательском центре. Исследования в таких учреждениях, которые следовали за модель Lycaeum от Аристотеля в Афинах, из - за резиденции Александра Великогои его товарищи в северной ветви, были частью образовательной деятельности, к которой библиотека и музей были дополнением. В штате была всего одна такая школа. Принадлежащий королю, он находился под королевским патронажем, который обычно проявлял ревность, энтузиазм и участие. Цари покупали, просили, одалживали и крали драгоценные книги всякий раз, когда и где могли. Книги были очень ценными, доступными только богатым читателям. Собирать их было королевской обязанностью. Пергамон был известен производством пергамента, поэтому слово « пергамент » происходит от слова «Пергамон».

Аполлоний вспоминает Филонида Лаодикийского , геометра, которого он представил Евдему в Эфесе . Филонид стал учеником Евдема. Он жил в основном в Сирии в первой половине II века до нашей эры. Указывает ли встреча, что Аполлоний теперь жил в Эфесе, не решено. Интеллектуальное сообщество Средиземноморья было интернациональным по культуре. Ученые были мобильны в поисках работы. Все они общались через какую-то почтовую службу, государственную или частную. Сохранившиеся письма в изобилии. Они навещали друг друга, читали работы друг друга, делали предложения друг другу, рекомендовали студентов и накопили традицию, которую некоторые называют «золотым веком математики».

Предисловие III отсутствует. Во время перерыва скончался Евдем, говорит Аполлоний в IV, снова подтверждая точку зрения, что Евдем был старше Аполлония. Предисловия IV – VII носят более формальный характер, они не содержат личной информации и сосредоточены на обобщении книг. Все они адресованы таинственному Атталу, выбор, сделанный «потому», как Аполлоний пишет Атталу, «из вашего искреннего желания владеть моими произведениями». К тому времени такое желание было у многих в Пергаме. Предположительно, этот Аттал был кем-то особенным, получившим копии шедевра Аполлония прямо из рук автора. Одна сильная теория состоит в том, что Аттал - это Аттал II Филадельф , 220-138 гг. До н.э., генерал и защитник королевства своего брата ( Эвмен II), соправитель по болезни последнего в 160 г. до н. э. и наследник его престола и его вдова в 158 г. до н. э. Он и его брат были большими покровителями искусства, благодаря чему библиотека приобрела международное величие. Даты совпадают с датами Филонида, в то время как мотив Аполлония созвучен инициативе Аттала по сбору книг.

Аполлоний послал Атталу Предисловия V – VII. В Предисловии VII он описывает Книгу VIII как «приложение» ... «которое я постараюсь отправить вам как можно скорее». Нет никаких записей о том, что он был отправлен или когда-либо завершен. Он может отсутствовать в истории, потому что он никогда не был в истории, Аполлоний умер до его завершения. Папп Александрийский , однако, предоставил для него леммы, так что, по крайней мере, какое-то его издание должно было когда-то находиться в обращении.

Документированные работы Аполлония [ править ]

Аполлоний был плодовитым геометром, написавшим большое количество работ. Выжил только один, Коникс . Это плотный и обширный справочник по теме, даже по сегодняшним меркам, служащий хранилищем малоизвестных сейчас геометрических утверждений, а также средством для некоторых новых, разработанных Аполлонием. Его аудиторией было не широкое население, которое не умело ни читать, ни писать. Он всегда предназначался для знатоков математики и их небольшого числа образованных читателей, связанных с государственными школами и связанными с ними библиотеками. Другими словами, это всегда был справочник по библиотеке. [6] Его основные определения стали важным математическим наследием. По большей части ее методы и выводы были заменены Аналитической геометрией.

Из восьми его книг только первые четыре имеют правдоподобное заявление о происхождении от оригинальных текстов Аполлония. Книги 5-7 переведены с арабского на латынь. Оригинальный греческий язык был утерян. Статус Книги VIII неизвестен. Первый проект существовал. Был ли когда-либо выпущен окончательный вариант, неизвестно. Его "реконструкция" Эдмонда Галлея существует на латыни. Невозможно узнать, насколько оно похоже на Аполлония. Галлей также реконструировал De Rationis Sectione и De Spatii Sectione . Помимо этих работ, за исключением нескольких фрагментов, заканчивается документация, которую можно каким-либо образом интерпретировать как происходящую от Аполлония.

Многие из утерянных работ описаны или упомянуты комментаторами. Кроме того, есть идеи, приписываемые Аполлонию другими авторами без документации. Достоверно или нет, но это слухи. Некоторые авторы называют Аполлония автором определенных идей, впоследствии названных его именем. Другие пытаются выразить Аполлония в современной нотации или фразеологии с неопределенной степенью точности.

Коники [ править ]

В греческом тексте Conics используется евклидово расположение определений, фигур и их частей; т. е. «данные», за которыми следуют предложения, «подлежащие доказательству». В книгах I-VII представлено 387 предложений. Такое расположение можно увидеть в любом современном учебнике геометрии традиционного предмета. Как и в любом курсе математики, материал очень плотный, и его рассмотрение обязательно медленное. У Аполлония был план для каждой книги, который частично описан в Предисловиях . Заголовки, или указатели на план, в некоторой степени неполноценны, поскольку Аполлоний больше полагался на логическую последовательность тем.

Таким образом, для комментаторов веков создается интеллектуальная ниша. Каждый должен представить Аполлония наиболее ясным и актуальным для своего времени образом. Они используют различные методы: аннотации, обширный вводный материал, различные форматы, дополнительные рисунки, поверхностная реорганизация путем добавления capita и так далее. Есть тонкие вариации в интерпретации. Современный англоязычный человек сталкивается с нехваткой материала на английском языке из-за того, что английские ученые предпочитают новую латынь. Такие интеллектуальные английские гиганты, как Эдмунд Галлей и Исаак Ньютон, настоящие потомки эллинистической традиции математики и астрономии, могут быть прочитаны и интерпретированы в переводе только населением, говорящим по-английски, не знакомым с классическими языками; то есть большинство из них.

Презентации, полностью написанные на английском языке, начинаются в конце 19 века. Особо следует отметить « Трактат Хита о конических сечениях» . Его обширный вводный комментарий включает в себя такие элементы, как словарь аполлонических геометрических терминов, дающих греческий язык, значения и использование. [7] Комментируя, что «явно зловещая часть трактата удерживает многих от попыток познакомиться с ним» [8] он обещает добавить заголовки, внешне изменяя организацию, и уточнить текст с помощью современных обозначений. Таким образом, в его работе упоминаются две системы организации, его собственная и система Аполлония, соответствия которым даны в скобках.

Работа Хита незаменима. Он преподавал на протяжении всего начала 20 века, скончавшись в 1940 году, но тем временем развивалась иная точка зрения. Колледж Св. Иоанна (Аннаполис / Санта-Фе) , который был военной школой с колониальных времен, предшествовал Военно-морской академии США в Аннаполисе, штат Мэриленд , к которой он примыкает, в 1936 году лишился аккредитации и оказался на грани банкротства. . В отчаянии правление вызвало Стрингфеллоу Барра и Скотта Бьюкенена из Чикагского университета., где разрабатывалась новая теоретическая программа обучения классике. Воспользовавшись этой возможностью, в 1937 году они учредили «новую программу» в Сент-Джонс, позже получившую название « Программа Великих Книг », фиксированный учебный план, по которому будут преподаваться произведения избранных ключевых участников культуры западной цивилизации. В церкви Святого Иоанна Аполлония начали учить как самого себя, а не как какое-то дополнение к аналитической геометрии .

«Наставником» Аполлония был Р. Кейтсби Талиаферро , получивший в 1937 году докторскую степень из Университета Вирджинии . Он был наставником до 1942 года, а затем в течение одного года, в 1948 году, сам предоставил английские переводы, перевел Альмагеста Птолемея и Коники Аполлония . Эти переводы стали частью серии « Великие книги западного мира» Британской энциклопедии . Включены только книги I-III с приложением по специальным темам. В отличие от Хита, Талиаферро не пытался реорганизовать Аполлония, даже поверхностно, или переписать его. Его перевод на современный английский язык довольно точно следует греческому. Он до некоторой степени использует современные геометрические обозначения.

Одновременно с работой Талиаферро Айвор Томас, преподаватель Оксфорда времен Второй мировой войны, проявлял большой интерес к греческой математике. Он спланировал сборник избранных материалов, который был реализован во время его военной службы в качестве офицера Королевского Норфолкского полка . После войны он нашел свое пристанище в Классической библиотеке Леба , где он занимает два тома, все переведенные Томасом, с греческим на одной стороне страницы и английским на другой, как это принято для серии Леба. Работа Томаса послужила руководством для золотого века греческой математики. Что касается Аполлония, он включает в основном только те части Книги I, которые определяют разделы.

Хит, Талиаферро и Томас удовлетворяли общественный спрос на Аполлония в переводе на протяжении большей части 20 века. Тема продолжается. Более поздние переводы и исследования включают новую информацию и точки зрения, а также исследуют старые.

Книга I [ править ]

В книге I представлено 58 предложений. Его наиболее важным содержанием являются все основные определения конусов и конических сечений. Эти определения не совсем совпадают с современными определениями тех же слов. Этимологически современные слова происходят от древних, но этимон часто отличается по значению от его рефлекса .

Коническая поверхность порождается отрезком вращается вокруг биссектрисы точки таким образом, что конечные точки трассировки окружность , каждый в своем собственном самолете . Конуса , одна ветвь двойной конической поверхности, является поверхностью с точкой ( вершиной или вершины ), круг ( основание ), а ось, линия , соединяющая вершину и центр основания.

« Сечение » (лат. Sectio, греческий фолиант) - это воображаемое «разрезание» конуса плоскостью .

  • Предложение I.3: «Если конус рассекается плоскостью через вершину, сечение будет треугольником». В случае двойного конуса сечение представляет собой два треугольника, так что углы при вершине являются вертикальными углами .
  • Предложение I.4 утверждает, что сечения конуса, параллельные основанию, представляют собой окружности с центрами на оси. [9]
  • Предложение I.13 определяет эллипс, который понимается как разрезание единственного конуса плоскостью, наклоненной к плоскости основания и пересекающей последнюю по линии, перпендикулярной диаметру основания за пределами конуса (не показано). . Угол наклона плоскости должен быть больше нуля, иначе сечение будет окружностью. Он должен быть меньше соответствующего угла основания осевого треугольника, при котором фигура становится параболой.
  • Предложение I.11 определяет параболу. Его плоскость параллельна стороне конической поверхности осевого треугольника.
  • Предложение I.12 определяет гиперболу. Его плоскость параллельна оси. Он разрезал обе шишки пары, таким образом получив две отдельные ветви (показана только одна).

Греческие геометры были заинтересованы в размещении избранных фигур из своего инвентаря в различных приложениях инженерии и архитектуры, как это обычно делали великие изобретатели, такие как Архимед. Спрос на конические сечения был тогда и существует сейчас. Развитие математической характеристики переместило геометрию в направлении греческой геометрической алгебры , которая визуально показывает такие алгебраические основы, как присвоение значений линейным сегментам в качестве переменных. Они использовали систему координат, промежуточную между сеткой измерений и декартовой системой координат . Теории пропорций и применения площадей позволили разработать визуальные уравнения. (См. Ниже в разделе «Методы Аполлония»).

Анимированный рисунок изображает метод «приложения площадей» для выражения математической зависимости, характеризующей параболу. Левый верхний угол изменяющегося прямоугольника с левой стороны и правый верхний угол с правой стороны - это «любая точка на участке». В анимации он находится после раздела. Оранжевый квадрат вверху - это «квадрат на расстоянии от точки до диаметра; то есть квадрат ординаты. У Аполлония ориентация горизонтальна, а не вертикальна, как показано здесь. Здесь это квадрат абсциссы. . Независимо от ориентации, уравнение осталось прежним, имена изменены. Синий прямоугольник снаружи - это прямоугольник с другой координатой и расстоянием p. В алгебре x 2= py, одна из форм уравнения параболы. Если внешний прямоугольник по площади превышает py, сечение должно быть гиперболой; если меньше, эллипс.

«Применение областей» неявно спрашивает, учитывая площадь и линейный сегмент, применима ли эта область; то есть равен ли он квадрату на отрезке? Если да, применимость (парабола) установлена. Аполлоний вслед за Евклидом спросил, применим ли прямоугольник на абсциссе какой-либо точки на разрезе к квадрату ординаты . [10] Если это так, его слово-уравнение является эквивалентом одной современной формы уравнения для параболы . Прямоугольник имеет стороны и . Именно он соответственно назвал фигуру, параболу, «приложением».

Случай «неприменимости» далее делится на две возможности. Для данной функции,, такой, что в случае применимости , в случае неприменимости либо или . В первом случае он не соответствует величине, называемой многоточием, «дефицит». В последнем случае превышается величина, называемая гиперболой, «избытком».

Применимость может быть достигнута путем добавления дефицита или вычитания излишка . Фигура, компенсирующая дефицит, получила название эллипса; для избытка - гипербола. [11] Члены современного уравнения зависят от перемещения и поворота фигуры от начала координат, но общее уравнение для эллипса,

Ax 2 + By 2 = C

можно поместить в форму

где C / B - это d, а уравнение гиперболы

Ax 2 - By 2 = C

становится

где C / B - s. [12]

Книга II [ править ]

Книга II содержит 53 предложения. Аполлоний говорит, что он намеревался охватить «свойства, имеющие отношение к диаметрам и осям, а также асимптоты и другие вещи ... для пределов возможностей». Его определение «диаметра» отличается от традиционного, поскольку он считает необходимым направить предполагаемого получателя письма к своей работе для определения. Упомянутые элементы определяют форму и формирование фигур. Касательные рассматриваются в конце книги.

Книга III [ править ]

Книга III содержит 56 предложений. Аполлоний заявляет об оригинальном открытии теорем «использования для построения твердых локусов ... трех- и четырехстрочного геометрического места ...» Географическое место конического сечения - это сечение. Задача трехлинейного геометрического места (как указано в приложении Талиаферо к Книге III) находит «геометрическое место точек, расстояния которых от трех заданных фиксированных прямых ... таковы, что квадрат одного из расстояний всегда находится в постоянном отношении к прямоугольник, содержащийся в двух других расстояниях ". Это доказательство применения площадей, образующих параболу. [13]Четырехстрочная задача приводит к эллипсу и гиперболе. Аналитическая геометрия выводит одни и те же локусы из более простых критериев, поддерживаемых алгеброй, а не геометрией, за которую Декарт получил высокую оценку. Он превосходит Аполлония в своих методах.

Книга IV [ править ]

Книга IV содержит 57 предложений. Первый, посланный Атталу, а не Евдему, таким образом, представляет его более зрелую геометрическую мысль. Тема довольно специализирована: «наибольшее количество точек, в которых части конуса могут пересекаться друг с другом или пересекаться с окружностью круга…». Тем не менее, он говорит с энтузиазмом, называя их «весьма полезными». в решении проблем (Предисловие 4). [14]

Книга V [ править ]

Книга V, известная только благодаря переводу с арабского, содержит 77 предложений, больше, чем любая книга. [15] Они покрывают эллипс (50 предложений), параболу (22) и гиперболу (28). [16] Это не явная тема, которая в предисловиях I и V Аполлониус утверждает, что это строки максимума и минимума. Эти термины не поясняются. В отличие от Книги I, Книга V не содержит определений и объяснений.

Двусмысленность притягивает толкователей Аполлония, которые вынуждены толковать, не зная смысла основных терминов книги. До недавнего времени преобладала точка зрения Хита: линии следует рассматривать как нормали к сечениям. [17] нормально в этом случае является перпендикулярной к кривой в точке касанияиногда называют стопой. Если разрез построен в соответствии с системой координат Аполлония (см. Ниже в разделе «Методы Аполлония»), с диаметром (переведенным Хитом как ось) по оси x и вершиной в начале координат слева, фразеология предложения указывает, что минимумы / максимумы должны быть найдены между сечением и осью. Хит приходит к выводу о том, что неподвижная точка p на участке служит одновременно точкой касания и одним концом линии. Тогда минимальное расстояние между p и некоторой точкой g на оси должно быть нормалью от p.

В современной математике нормали к кривым известны как местоположение центра кривизны этой небольшой части кривой, расположенной вокруг ступни. Расстояние от ступни до центра - это радиус кривизны . Последний является радиусом круга, но для других кривых, кроме круговых, небольшую дугу можно аппроксимировать дугой окружности. Кривизна некруглых кривых; например, конические секции должны меняться по секции. Карта центра кривизны; т. е. его локус, когда ступня движется по секции, называется эволюцией секции. Такая фигура, край последовательных позиций линии, называется конвертом.сегодня. Хит полагал, что в Книге V мы видим, как Аполлоний устанавливает логическое основание теории нормалей, эволюций и конвертов. [18]

Хитс считался авторитетной интерпретацией Книги V на протяжении всего 20 века, но изменение века повлекло за собой изменение взглядов. В 2001 году ученые Аполлония Фрид и Унгуру, отдавая должное другим главам Хита, возразили против историчности анализа Хита Книги V, заявив, что он «переработал оригинал, чтобы сделать его более подходящим для современного математика ... такие вещи, которые делают работу Хита сомнительной ценностью для историка, раскрывая больше мыслей Хита, чем Аполлония ». [19] Некоторые из его аргументов сводятся к следующему. Ни в предисловиях, ни в самих книгах нет упоминания о том, что максимумы / минимумы сами по себе являются нормами. [20]Из 50 предложений Хита, которые, как утверждается, охватывают нормали, только 7, Книга V: 27-33, заявляют или подразумевают, что линии максимума / минимума перпендикулярны касательным. Эти 7 Фрид классифицирует как изолированные, не связанные с основными положениями книги. Они никоим образом не подразумевают, что максимумы / минимумы в целом являются нормальными. В своем обширном исследовании других 43 предложений Фрид доказывает, что многого быть не может. [21]

Фрид и Унгуру противопоставляют его, изображая Аполлония как продолжение прошлого, а не предзнаменование будущего. Во-первых, это полное филологическое изучение всех ссылок на минимальные и максимальные строки, раскрывающее стандартную фразеологию. Есть три группы по 20-25 предложений в каждой. [22]Первая группа содержит фразу «от точки на оси к сечению», которая является полной противоположностью гипотетической «от точки на сечении к оси». Первое не должно быть нормальным ни к чему, хотя может быть. Учитывая фиксированную точку на оси, из всех линий, соединяющих ее со всеми точками сечения, одна будет самой длинной (максимальной) и одной самой короткой (минимальной). Другие фразы: «в разрезе», «нарисовано из раздела», «отрезано между частью и его осью», отсечено по оси », и все они относятся к одному и тому же изображению.

По мнению Фрида и Унгуру, тема Книги V - это именно то, о чем говорит Аполлоний: строки максимума и минимума. Это не кодовые слова для будущих концепций, а относятся к использовавшимся тогда древним концепциям. Авторы цитируют Евклида, Элементы, Книгу III, которая касается кругов, а также максимальных и минимальных расстояний от внутренних точек до окружности. [23] Не допуская какой-либо конкретной общности, они используют такие термины, как «подобное» или «аналог». Они известны тем, что вводят термин «неусис-подобный». Невсисбыл методом подгонки заданного сегмента между двумя заданными кривыми. Дана точка P и линейка с отмеченным на ней отрезком. один вращает линейку вокруг P, разрезая две кривые, пока сегмент не будет соответствовать между ними. В Книге V буква Р - точка на оси. Вращая вокруг него линейку, вы обнаруживаете расстояния до сечения, на которых можно различить минимум и максимум. Техника не применима к ситуации, так что это не невзирая. Авторы используют neusis-подобный, видя архетипическое сходство с древним методом. [19]

Книга VI [ править ]

Книга VI, известная только благодаря переводам с арабского, содержит 33 предложения - наименьшее из всех книг. В нем также есть большие лакуны или пробелы в тексте из-за повреждений или искажений в предыдущих текстах.

Тема относительно ясная и бесспорная. В предисловии 1 говорится, что это «равные и похожие сечения конусов». Аполлоний расширяет концепции конгруэнтности и подобия, представленные Евклидом, на более элементарные фигуры, такие как треугольники, четырехугольники, на конические сечения. В предисловии 6 упоминаются «участки и сегменты», которые «равны и неравны», а также «похожи и непохожи», и добавляется некоторая конструктивная информация.

Книга VI имеет возврат к основным определениям в начале книги. « Равенство » определяется приложением площадей. Если одна цифра; то есть секция или сегмент «применяется» к другому (Галлея si Applicari Possit altera super alteram ), они «равны» ( aequales Галлея ), если они совпадают и ни одна линия одного не пересекает любую линию другого. Это, очевидно, стандарт соответствия после Евклида, Книга I, Общие понятия, 4: «и вещи, совпадающие ( epharmazanta ) друг с другом, равны ( isa). » Совпадение и равенство пересекаются, но это не одно и то же: применение областей, используемых для определения разделов, зависит от количественного равенства площадей, но они могут принадлежать к разным фигурам.

Между экземплярами, которые являются одинаковыми (homos), равными друг другу, и теми, которые различны или неравны , находятся фигуры, которые являются «одинаковыми» (hom-oios) или подобными . Они не являются ни полностью одинаковыми, ни разными, но имеют общие аспекты и не имеют общих аспектов, которые являются разными. Интуитивно геометры имели в виду масштаб ; например, карта похожа на топографический регион. Таким образом, фигуры могут иметь более крупную или меньшую версию самих себя.

Аспекты, которые совпадают на подобных рисунках, зависят от рисунка. В 6-й книге «Элементов» Евклида представлены треугольники, похожие на те, которые имеют такие же соответствующие углы. Таким образом, треугольник может иметь сколь угодно маленькие миниатюры или гигантские версии, и при этом оставаться «таким же» треугольником, что и оригинал.

В определениях Аполлония в начале Книги VI подобные правые конусы имеют аналогичные осевые треугольники. Подобные участки и отрезки участков находятся прежде всего в одинаковых конусах. Кроме того, для каждой абсциссы одного должна существовать абсцисса другого в желаемом масштабе. Наконец, абсцисса и ордината одного должны совпадать с координатами того же отношения ординаты к абсциссе, что и у другого. Общий эффект такой, как если бы секция или сегмент перемещались вверх и вниз по конусу для достижения другого масштаба. [24]

Книга VII [ править ]

Книга VII, также перевод с арабского, содержит 51 предложение. Это последнее, что Хит рассматривает в своем издании 1896 года. В Предисловии I Аполлоний не упоминает о них, подразумевая, что на момент написания первого наброска они, возможно, не существовали в достаточно связной форме для описания. Аполлоний использует непонятный язык, говоря, что это «peri dioristikon Theorematon», что Галлей перевел как «de Theorematis ad definitionem pertinentibus», а Хит - как «теоремы, включающие определения пределов». Это язык определений, но никаких определений не предлагается. Вопрос о том, может ли ссылка относиться к определенному виду определений, является предметом рассмотрения, но на сегодняшний день не предложено ничего достоверного. [25]Тема Книги VII, завершенной к концу жизни и карьеры Аполлония, сформулирована в Предисловии VII как диаметры и «фигуры, описанные на них», которые должны включать сопряженные диаметры , поскольку он сильно полагается на них. Каким образом могут применяться термины «пределы» или «определения», не упоминается.

Диаметры и их сопряжения определены в Книге I (Определения 4-6). Не каждый диаметр имеет сопряжение. Топография диаметра (греч. Diametros) требует правильной изогнутой фигуры . Области неправильной формы, к которым обращаются в наше время, не входили в древний план игры. Аполлоний, конечно, имеет в виду конические сечения, которые он часто описывает запутанным языком: «кривая в одной плоскости» - это круг, эллипс или парабола, а «две кривые в одной плоскости» - это гипербола. аккорд- прямая, две конечные точки которой находятся на фигуре; т.е. он разрезает фигуру в двух местах. Если на фигуру наложена сетка из параллельных хорд, то диаметр определяется как линия, разделяющая все хорды пополам и достигающая самой кривой в точке, называемой вершиной. Нет необходимости в закрытой фигуре; например, парабола имеет диаметр.

Парабола имеет одномерную симметрию . Если представить, что он сложен на один диаметр, две половинки совпадают или подходят друг к другу. То же самое можно сказать об одной ветви гиперболы. Сопряженные диаметры (греч. Suzugeis diametroi, где suzugeis «связаны вместе»), однако, симметричны в двух измерениях. Фигуры, к которым они относятся, требуют также центра площади (греч. Kentron), сегодня называемого центроидом , служащего центром симметрии в двух направлениях. Эти фигуры представляют собой круг, эллипс и двуветвленную гиперболу. Есть только один центроид, который нельзя путать с фокусами . Диаметр - это хорда, проходящая через центр тяжести, который всегда делит его пополам.

Для круга и эллипса пусть сетка параллельных хорд будет наложена на фигуру так, чтобы самая длинная из них была диаметром, а другие последовательно короче, пока последняя не стала хордой, а стала точкой касания. Касательная должна быть параллельна диаметру. Сопряженный диаметр делит хорды пополам и помещается между центроидом и точкой касания. Более того, оба диаметра сопряжены друг с другом и называются сопряженной парой. Очевидно, что любые сопряженные пары окружности перпендикулярны друг другу, но в эллипсе только большая и малая оси, а удлинение разрушает перпендикулярность во всех остальных случаях.

Сопряжения определены для двух ветвей гиперболы, полученной в результате разрезания двойного конуса одной плоскостью. Их называют сопряженными ветвями. У них одинаковый диаметр. Его центроид делит пополам отрезок между вершинами. Есть место для еще одной диаметральной линии: пусть сетка из линий, параллельных диаметру, разрезает обе ветви гиперболы. Эти линии похожи на хорды, за исключением того, что они не заканчиваются на одной и той же непрерывной кривой. Сопряженный диаметр может быть проведен от центра тяжести, чтобы разделить хорды пополам.

Эти концепции в основном из Книги I позволяют нам начать с 51 предложения Книги VII, детально определяющего отношения между сечениями, диаметрами и сопряженными диаметрами. Как и в случае с некоторыми другими специализированными темами Аполлония, их полезность сегодня по сравнению с Аналитической геометрией еще предстоит увидеть, хотя он утверждает в Предисловии VII, что они одновременно полезны и новаторски; то есть он берет на себя заслугу перед ними.

Утраченные и восстановленные работы, описанные Паппом [ править ]

Папп упоминает и другие трактаты Аполлония:

  1. Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione («Сокращение соотношения»)
  2. Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione («Вырезание территории»)
  3. Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata («Определенное сечение»)
  4. Ἐπαφαί, De Tactionibus («Касания») [26]
  5. Νεύσεις, De Inclinationibus ("Наклоны")
  6. Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis («Плоские места»).

Каждая из них была разделена на две книги и - вместе с Данными , Поризмами и Поверхностными локусами Евклида и Кониками Аполлония - была, согласно Паппу, включена в основную часть античного анализа. [13] Далее следуют описания шести упомянутых выше работ.

De Rationis Sectione [ править ]

De Rationis Sectione стремился решить простую проблему: для заданных двух прямых линий и точки в каждой провести через третью заданную точку прямую линию, пересекающую две фиксированные линии, таким образом, чтобы части пересекались между заданными точками на них и точками пересечения. с этой третьей строкой может иметь заданное соотношение. [13]

De Spatii Sectione [ править ]

De Spatii Sectione обсуждает аналогичную проблему, требуя, чтобы прямоугольник, содержащийся в двух перехватах, был равен заданному прямоугольнику. [13]

В конце 17 века Эдвард Бернар обнаружил версию De Rationis Sectione в Бодлианской библиотеке . Хотя он начал перевод, именно Галлей закончил его и включил в том 1706 года, восстановив De Spatii Sectione .

De Sectione Determinata [ править ]

De Sectione Determinata решает проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении точек на линии, которые были в соотношении с другими. [27] Конкретные задачи: Даны две, три или четыре точки на прямой, найти другую точку на ней, расстояние от которой до данных точек удовлетворяет условию, что квадрат на одной или прямоугольник, содержащий два, имеет заданное отношение либо (1) к квадрату на оставшейся одной, либо к прямоугольнику, содержащемуся в оставшихся двух, либо (2) к прямоугольнику, содержащемуся в оставшейся одной и другой данной прямой. Некоторые пытались восстановить текст, чтобы найти решение Аполлония, среди них Снеллиус ( Виллеброрд Снелл , Лейден, 1698); Александр Андерсон из Абердина в приложении к его « Аполлонию Редививу» (Париж, 1612 г.); и Роберт Симсон в его Opera quaedam reliqua (Глазго, 1776 г.), безусловно, лучшая попытка. [13]

De Tactionibus [ править ]

Для получения дополнительной информации см. Проблема Аполлония .

De Tactionibus поставил перед собой следующую общую проблему: учитывая три вещи (точки, прямые или окружности) в позиции, описать круг, проходящий через заданные точки и касающийся заданных прямых линий или окружностей. Самый сложный и исторически интересный случай возникает, когда эти три данные представляют собой круги. В 16 веке Виета представил эту проблему (иногда известную как проблема Аполлона) Адриану Роману , который решил ее с помощью гиперболы . Вслед за этим Виета предложил более простое решение, что в конечном итоге привело его к восстановлению всего трактата Аполлония в небольшом труде « Аполлоний Галл» (Париж, 1600). История проблемы подробно рассматривается в предисловии кКраткое описание Дж. В. Камерера Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus и т. Д. (Gothae, 1795, 8vo). [13]

De Inclinationibus [ править ]

Целью De Inclinationibus было продемонстрировать, как прямую линию заданной длины, стремящуюся к заданной точке, можно вставить между двумя заданными (прямыми или круговыми) линиями. Хотя Марин Гетальдич и Гюго д'Омерик ( Геометрический анализ , Кадис, 1698) пытались реставрировать, лучший из них - Самуэль Хорсли (1770). [13]

De Locis Planis [ править ]

De Locis Planis - это набор предложений, относящихся к местам, которые представляют собой прямые или окружности. Поскольку Папп подробно излагает свои положения, этот текст также видел попытки восстановить его, причем не только П. Ферма ( Oeuvres , i., 1891, стр. 3–51) и Ф. Шутен (Лейден, 1656), но и также, наиболее удачно, Р. Симсоном (Глазго, 1749). [13]

Утраченные произведения, упомянутые другими древними писателями [ править ]

Древние писатели ссылаются на другие произведения Аполлония, которые более не сохранились:

  1. Περὶ τοῦ πυρίου, На горящем стекле , трактат, вероятно, исследующий фокусные свойства параболы
  2. Περὶ τοῦ κοχλίου, О цилиндрической спирали (упоминается Проклом)
  3. Сравнение додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну сферу
  4. Ἡ καθόλου πραγματεία, работа по общим принципам математики, которая, возможно, включала критику Аполлония и предложения по улучшению « Элементов Евклида»
  5. Ὠκυτόκιον ( «Быстрый Приведение к рождению»), в котором, по словам Eutocius, Аполлоний показано , как найти более близкие пределы для значения П , чем у Архимеда , который рассчитал 3 1 / 7 в качестве верхнего предела и 3 1071 как нижний предел
  6. арифметическая работа (см. Папп ) над системой как для выражения больших чисел более повседневным языком, чем в « Счетчике песка» Архимеда, так и для умножения этих больших чисел
  7. великое расширение теории иррациональных чисел, изложенных в Евклиде, Книга X, от биномиальных к полиномиальным и от упорядоченных к неупорядоченным иррациональным (см. отрывки из сообщения Паппа о Евкл. x., сохраненные на арабском языке и опубликованные Woepke , 1856 г.) . [13]

Ранние печатные издания [ править ]

Страницы из арабского перевода Коник IX века
Издание 1654 года Conica Аполлония под редакцией Франческо Маволико

Первопечатные издания начались в основном в 16 веке. В то время ожидалось, что научные книги будут на латыни, сегодняшней новой латыни . Поскольку рукописей на латыни почти не было, редакторы старопечатных произведений переводили с греческого или арабского на латынь. Греческий и латинский языки обычно сопоставляли, но только греческий является оригинальным, иначе редактор восстановил то, что он считал оригиналом. Критические аппараты были на латыни. Однако древние комментарии были на древнегреческом или средневековом. Только в 18-19 веках начали появляться современные языки. Ниже приводится репрезентативный список старопечатных изданий. Оригиналы этих изданий редки и дороги. Для современных изданий на современных языках смотрите ссылки.

  1. Пергей, Аполлоний (1566 г.). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis Философская библиотека duo ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (на древнегреческом и латинском языках). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii.Презентация первых четырех книг Коников на греческом языке Фредерика Командина с его собственным переводом на латынь и комментариями Паппа Александрийского , Евтокия из Аскалона и Серена из Антиноплиса .
  2. Аполлоний; Барроу, I (1675 г.). Apollonii conica: Methodo nova illustrata и succinctè manifestrata (на латыни). Londini: Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, in vico Little Britain.Перевод Барроу с древнегреческого на неолатинский язык первых четырех книг Коникса . Связанная здесь копия, находящаяся в Бостонской публичной библиотеке , когда-то принадлежала Джону Адамсу .
  3. Аполлоний; Паппус ; Галлей, Э. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo: Ex Arabico ms. Латинская версия. Accedunt ejusdem de sectione spatii libri duo restituti (на латыни). Oxonii.Презентация двух утраченных, но восстановленных произведений Аполлония. De Sectione Rationis происходит из неопубликованной рукописи на арабском языке в Бодлианской библиотеке в Оксфорде, первоначально частично переведенной Эдвардом Бернаром, но прерванной его смертью. Ее вручили Эдмонду Галлея , профессору, астроному, математику и исследователю, в честь которого позже была названа комета Галлея . Не сумев расшифровать искаженный текст, он отказался от него. Впоследствии Дэвид Грегори (математик) восстановил арабский язык для Генри Олдрича , который снова передал его Галлею. Изучая арабский язык, Галлей создал De Sectione Rationis.и в качестве дополнительного вознаграждения для читателя создал неолатинский перевод версии De Sectione Spatii, реконструированной на основе комментариев Паппа. Два неолатинских сочинения и древнегреческий комментарий Паппа были объединены в единый том 1706 года. Автор арабской рукописи не известен. Основываясь на заявлении, что он был написан под «покровительством» Аль-Мамуна , латинского Алмамона, астронома и халифа Багдада в 825 году, Галлей датирует его 820 годом в своем «Praefatio ad Lectorem».
  4. Аполлоний; Александрин Папп ; Галлей, Эдмонд ; Евтокий ; Серен (1710 г.). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri duo (PDF) (на латинском и древнегреческом языках). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano.Ободренный успехом своего перевода исправленного арабского текста Давида Грегори de Sectione rationis , опубликованного в 1706 году, Галлей продолжил восстановление и перевел на латинский язык целиком elementa conica Аполлония . [28] Книги I-IV никогда не терялись. Они появляются с греческим в одном столбце и латынью Галлея в параллельном столбце. Книги V-VI возникли в результате неожиданного открытия ранее недооцененного перевода с греческого на арабский язык, который был куплен ученым-антикваром Якобом Голиусом в Алеппо в 1626 году. После его смерти в 1696 году они были переданы в наследство бодлеанцам. Библиотека (первоначально MS Marsh 607, датированная 1070 годом). [29]Перевод, датированный гораздо более ранним временем, происходит из отделения школы Алмамона, названной Бану Муса , «сыновья Мусы», группы из трех братьев, живших в 9 веке. Перевод выполнен работающими для них писателями. [4] В работе Галлея дается только латинский перевод Книг V-VII. Это его первое печатное издание. Книга VIII была утеряна прежде, чем ученые Алмамона смогли приложить руку к ее сохранению. Выдумка Галлея, основанная на ожиданиях, изложенных в книге VII, и леммах Паппа, дана на латыни. Комментарии Евтокия, леммы Паппа и два связанных трактата Серена включены в качестве руководства к интерпретации Коник .

Идеи, приписываемые Аполлонию другими писателями [ править ]

Вклад Аполлония в астрономию [ править ]

Ему приписывается эквивалентность двух описаний движений планет, одно с использованием эксцентриков, а другое - деферентных и эпициклов . Птолемей описывает эту эквивалентность как теорему Аполлония в Альмагесте XII.1.

Методы Аполлония [ править ]

Согласно Хиту, [30] «Методы Аполлония» не были его и не были личными. Какое бы влияние он ни оказал на более поздних теоретиков, было влияние геометрии, а не его собственного новаторства в технике. Хит говорит:

В качестве предварительного к подробному рассмотрению методов, использованных в кониках, можно в целом заявить, что они неуклонно следуют принятым принципам геометрического исследования, которые нашли свое окончательное выражение в Элементах Евклида.

Что касается современных людей, говорящих о геометрах золотого века, термин «метод» означает, в частности, визуальный, реконструктивный способ, которым геометр неосознанно дает тот же результат, что и алгебраический метод, используемый сегодня. В качестве простого примера алгебра находит площадь квадрата, возводя его в квадрат. Геометрический метод достижения того же результата - построение визуального квадрата. Геометрические методы в золотой век могли дать большинство результатов элементарной алгебры.

Геометрическая алгебра [ править ]

Визуальная форма теоремы Пифагора, как ее видели древние греки. Синий квадрат - это сумма двух других квадратов.

Хит продолжает использовать термин геометрическая алгебра для обозначения методов всего золотого века. По его словам, этот термин назван «правильно». Сегодня этот термин возродился для использования в других смыслах (см. Раздел геометрической алгебры ). Хит использовал его так, как это было определено Генри Берчардом Файном в 1890 году или раньше. [31] Штраф применяет его к La Geometrie от Рене Декарта , первый полномасштабную работу аналитической геометрии. Устанавливая в качестве предварительного условия, что «две алгебры формально идентичны, фундаментальные операции которых формально одинаковы», Файн говорит, что работа Декарта «не ... просто числовая алгебра, но то, что из-за отсутствия лучшего названия может быть названо алгеброй отрезки линии. Его символика такая же, как и у числовой алгебры; .... »

Например, в Apollonius отрезок AB (линия между точками A и B) также является числовой длиной отрезка. Он может иметь любую длину. Следовательно, AB становится тем же, что и алгебраическая переменная , такая как x (неизвестное), которой может быть присвоено любое значение; например, x = 3.

Переменные определяются в Аполлонии с помощью таких словосочетаний, как «пусть AB будет расстоянием от любой точки на сечении до диаметра» - практика, которая продолжается в алгебре сегодня. Каждый студент, изучающий основы алгебры, должен научиться преобразовывать «словесные задачи» в алгебраические переменные и уравнения, к которым применяются правила алгебры при решении относительно x . У Аполлония таких правил не было. Его решения геометрические.

Отношения, которые трудно поддаются живописным решениям, были ему недоступны; тем не менее, его репертуар живописных решений возник из пула сложных геометрических решений, которые сегодня обычно не известны (или не требуются). Одно хорошо известное исключение - это обязательная теорема Пифагора , даже сейчас представленная прямоугольным треугольником с квадратами на его сторонах, иллюстрирующими такое выражение, как a 2 + b 2 = c 2 . Греческие геометры называли эти термины «квадратом на AB» и т. Д. Точно так же площадь прямоугольника, образованного AB и CD, была «прямоугольником на AB и CD».

Эти концепции дали греческим геометрам алгебраический доступ к линейным функциям и квадратичным функциям , которыми являются конические сечения. Они содержат степени 1 или 2 соответственно. Аполлоний не особо использовал кубы (представленные в твердотельной геометрии ), хотя конус - это твердое тело. Его интересовали конические сечения, которые представляют собой плоские фигуры. Степени 4 и выше были недоступны для визуализации, требуя некоторой степени абстракции, недоступной в геометрии, но готовой в алгебре.

Система координат Аполлония [ править ]

Декартова система координат, стандартная в аналитической геометрии

Все обычные измерения длины в общественных единицах, таких как дюймы, с использованием стандартных общедоступных устройств, таких как линейка, подразумевают общественное признание декартовой сетки ; то есть поверхность, разделенная на единичные квадраты, например один квадратный дюйм, и пространство, разделенное на единичные кубы, например, один кубический дюйм. В древнегреческих единицы измерения предоставили такую сетку для греческих математиков с бронзового века. До Аполлония, Менехма и Архимедауже начали размещать свои фигуры в подразумеваемом окне общей сетки, ссылаясь на расстояния, которые, как предполагалось, должны измеряться от левой вертикальной линии, обозначающей нижнюю меру, и нижней горизонтальной линии, обозначающей меньшую меру, направления являются прямолинейными или перпендикулярными для другого. [32] Эти края окна становятся в декартовой системе координат осями. В качестве координат указываются прямолинейные расстояния любой точки от осей . У древних греков такой договоренности не было. Они просто ссылались на расстояния.

У Аполлония действительно есть стандартное окно, в которое он помещает свои фигуры. Вертикальное измерение происходит от горизонтальной линии, которую он называет «диаметром». В греческом это слово такое же, как и в английском, но греческий язык несколько шире в своем понимании. [33] Если фигура конического сечения разрезана сеткой параллельных линий, диаметр делит пополам все линейные сегменты, включенные между ветвями фигуры. Он должен проходить через макушку (коруфе, «корона»). Таким образом, диаметр состоит из открытых фигур, таких как парабола, а также замкнутых фигур, таких как круг. Нет никаких указаний на то, что диаметр должен быть перпендикулярен параллельным линиям, но Аполлоний использует только прямолинейные.

Прямолинейное расстояние от точки на сечении до диаметра на греческом языке называется тетагменос, этимологически просто «протяженный». Поскольку оно всегда расширяется только «вниз» (ката-) или «вверх» (ана-), переводчики интерпретируют его как ординату . В этом случае диаметр становится осью x, а вершина - началом координат. Затем ось y становится касательной к кривой в вершине. Затем абсцисса определяется как отрезок диаметра между ординатой и вершиной.

Используя свою версию системы координат, Аполлонию удается разработать в наглядной форме геометрические эквиваленты уравнений для конических сечений, что поднимает вопрос о том, можно ли считать его систему координат декартовой. Есть некоторые отличия. Декартова система должна рассматриваться как универсальная, охватывающая все цифры во всем пространстве до того, как будут выполнены какие-либо вычисления. Он состоит из четырех квадрантов, разделенных двумя скрещенными осями. Три квадранта включают отрицательные координаты, означающие направления, противоположные исходным осям нуля.

Аполлоний не имеет отрицательных чисел, не имеет явно числа, равного нулю, и не развивает систему координат независимо от конических сечений. Он работает по существу только в квадранте 1, все положительные координаты. Карл Бойер, современный историк математики, поэтому говорит: [34]

Однако греческая геометрическая алгебра не допускала отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае накладывалась a posteriori на данную кривую, чтобы изучить ее свойства ... Аполлоний, величайший геометр древности, не смог развить аналитическую геометрию ...

Однако никто не отрицает, что Аполлоний занимает своего рода промежуточную нишу между сеточной системой традиционных измерений и полностью разработанной декартовой системой координат аналитической геометрии. Читая Аполлония, нужно стараться не принимать его термины в современном значении.

Теория пропорций [ править ]

Аполлоний использует «теорию пропорций», изложенную в « Началах » Евклида , книги 5 и 6. Эта теория, разработанная Евдоксом Книдским, занимает промежуточное положение между чисто графическими методами и современной теорией чисел. Отсутствует стандартная десятичная система счисления, как и стандартная обработка дробей. Утверждения, однако, выражают на словах правила манипулирования дробями в арифметике. Хит предлагает заменить их умножением и делением. [35]

Под термином «величина» Евдокс надеялся выйти за рамки чисел и перейти к общему пониманию размера, значение, которое он сохраняет до сих пор. Что касается фигур Евклида, это чаще всего означает числа, что и было подходом Пифагора. Пифагор считал, что Вселенная может быть охарактеризована количествами, что стало современной научной догмой. Книга V Евклида начинается с утверждения, что величина (мегетос, «размер») должна делиться поровну на единицы (мерос, «часть»). Таким образом, величина кратна единицам. Они не обязательно должны быть стандартными единицами измерения, такими как метры или футы. Один блок может быть любым обозначенным отрезком линии.

Далее следует, пожалуй, самое полезное фундаментальное определение, когда-либо придуманное в науке: соотношение (греч. Logos , что примерно означает «объяснение») - это утверждение относительной величины. Даны две величины, скажем, отрезков AB и CD. отношение AB к CD, где CD считается единицей, является количеством CD в AB; например, 3 части 4 или 60 частей на миллион, где ppmпо-прежнему использует терминологию «частей». Отношение является основой современной дроби, которая также по-прежнему означает «часть» или «фрагмент» от того же латинского корня, что и «перелом». Отношение является основой математического предсказания в логической структуре, называемой «пропорцией» (греч. Аналог). Пропорция утверждает, что если два сегмента, AB и CD, имеют такое же соотношение, как два других, EF и GH, тогда AB и CD пропорциональны EF и GH, или, как было бы сказано в Евклиде, AB относится к CD как EF. для GH.

Алгебра сводит это общее понятие к выражению AB / CD = EF / GH. Учитывая любые три члена, можно вычислить четвертое как неизвестное. Преобразуя приведенное выше уравнение, получаем AB = (CD / GH) • EF, в котором, выраженное как y = kx, CD / GH известно как «константа пропорциональности». Грекам было несложно брать кратные (греч. Pollaplasiein), вероятно, путем последовательного сложения.

Аполлоний использует соотношения почти исключительно линейных сегментов и площадей, обозначенных квадратами и прямоугольниками. Переводчики обязались использовать обозначение двоеточия, введенное Готфридом Вильгельмом Лейбницем в Acta Eruditorum , 1684. [36] Вот пример из Conics , Book I, по предложению 11:

Дословный перевод греческого: пусть будет надумано, что (квадрат) BC соответствует (прямоугольнику) BAC, как FH - FA.
Перевод Талиаферро: «Пусть будет надуманным, что кв. BA.AC :: FH: FA »
Алгебраический эквивалент: BC 2 / BA • BC = FH / FA

См. Также [ править ]

  • Аполлонические круги
  • Аполлонийская прокладка
  • Точка Аполлония
  • Аполлоническая сеть
  • Теорема Аполлония
  • Круги Аполлония
  • Теорема Декарта
  • Проблема Аполлония

Примечания [ править ]

  1. ^ Цзи, Шаньюй. «Аполлоний и конические сечения» (PDF) .
  2. ^ Eutocius, Комментарий к CONICA , Книга I, Линии 5-10, можно найтипереводе в Аполлонии Пергского & Thomas , 1953 , стр. 277
  3. ^ Исследования дат Аполлония, по сути, представляют собой подтасовку дат лиц, упомянутых Аполлонием и другими древними авторами. Возникает вопрос, какое именно событие произошло 246–222, будь то рождение или образование. Ученые 19-го и начала 20-го веков склонны отдавать предпочтение более раннему рождению, 260 или 262 году, чтобы сделать Аполлония более ровесником Архимеда. Некоторые письменные свидетельства, обнаруженные в Помпеях, делают Филонида наиболее датированным персонажем. Он жил во 2 веке до нашей эры. Поскольку жизнь Аполлония должна быть продлена до II века, ранние даты рождения менее вероятны. Более подробное изложение данных и проблем можно найти у Knorr (1986) . Дихотомия между традиционными датами, вытекающими из традиции, и более реалистичным подходом демонстрируетсяМакЭлрой, Такер (2005). «Аполлоний Пергский». От А до Я математиков . МакЭлрой сразу дает 262 - 190 (высокие даты) и объясняет, что это должно быть конец 3-го - начало 2-го, как в этой статье.
  4. ^ a b Fried & Unguru 2001 , Введение
  5. Томас Литтл Хит (1908). «Тринадцать книг Элементов Евклида» .
  6. ^ Жареные и Unguru, 2001 & LOC Успех версии Eutoocius' undoubtredly способствовал исчезновению греческого оригинала из последних четырех книг коники, хотя это было возможно , неизбежным в результате узкой сферы интереса к математике среди тех , касается высшего образования поздней античности и византийского периода (стр. 6)
  7. ^ Аполлоний Перга & Heath 1896 , стр. Clvii-clxx
  8. Аполлоний из Перги и Хита 1896 г. , стр. vii
  9. ^ Обратите внимание, что греческие геометры не определяли круг, эллипс и другие фигуры как конические сечения. Это будет круговое определение, поскольку конус был определен в терминах круга. Каждая фигура имеет собственное геометрическое определение и, кроме того, показана как коническое сечение.
  10. Аполлоний из Перги и Хита 1896 г. , стр. c
  11. ^ Обратите внимание, что круг, являющийся еще одним случаем дефицита, иногда считается своего рода эллипсом с одним центром вместо двух фокусов.
  12. ^ Обратите внимание, что y 2 = g (x) не является уравнением для параболы, которое имеет вид y 2 = kx, где x является меньшей степенью.
  13. ^ Б с д е е г ч я Heath 1911 , с. 187.
  14. ^ Многие комментаторы и переводчики, также, без сомнения, как копиисты, явно не в восторге от их использования, особенно после аналитической геометрии, которая может решать большинство задач по алгебре без каких-либо конструкций. Талиаферро останавливается у Книги III. Хит пытается составить дайджест книги, чтобы сделать ее более приемлемой для читателя ( Аполлоний из Перги и Хита, 1896 г. , Пересекающиеся коники). Фрид более верен Аполлонию, вместо этого предлагая обширный критический аппарат ( Аполлоний из Перги и Фрид, 2002 , сноски).
  15. ^ Fried & Unguru 2001 , стр. 146
  16. ^ Fried & Unguru 2001 , стр. 188
  17. ^ Аполлоний Pergas & Heath 1896 , нормали как максимумы и минимумы
  18. Аполлоний Пергинский и Хит 1896 , Предложения, непосредственно ведущие к определению эволюции
  19. ^ a b Fried & Unguru 2001 , стр. 148
  20. ^ Нормалис - прекрасное латинское слово, означающее «измеренный нормой» или квадратом. Галлей использует его, чтобы перевести eutheia Паппа, «расположенный справа», что имеет более общее значение направленного правильного. В качестве «перпендикуляра к» греки-математики использовали «нормаль к», где объектом «of» могла быть любая фигура, обычно прямая линия. Фрид говорит о том, что не было стандартного использования нормали для обозначения нормали кривой, и Аполлоний не вводил ее, хотя в нескольких отдельных случаях он ее описал.
  21. Fried & Unguru посвящают этой критике целую главу: Fried & Unguru 2001 , Maximum and Minimum Lines: Book V of the Conica
  22. ^ Сводная таблица приведена в Fried & Unguru 2001 , p. 190
  23. ^ Fried & Unguru 2001 , стр. 182
  24. ^ Математическое объяснение, а также точность каждого предложения в книге можно найти в Toomer 1990 , стр. Lxi-lxix. Обратите внимание, что переводы определений сильно различаются, поскольку каждый английский автор пытается перефразировать сложности на ясном и кратком английском. По сути, такого английского нет.
  25. ^ Краткое изложение вопроса можно найти в Heath 1896 , p. lxx. Большинству писателей есть что сказать по этому поводу; например, Toomer, GJ (1990). Аполлоний Коникс, Книги V - VII: арабский перевод утерянного греческого оригинала в версии Бану Муса . Источники в истории математики и физических наук 9. I . Нью-Йорк: Спрингер. стр. lxix – lxx. мы можем рассматривать установление пределов решения как свою главную цель Точка зрения Тумера дается без конкретики или ссылок на какой-либо текст Книги VII, кроме Предисловия.
  26. ^ Маккензи, Дана. «Тискет, шкатулка, аполлонийская прокладка» . Американский ученый . 98, январь – февраль 2010 г. (1): 10–14.
  27. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 142 . ISBN 0-471-54397-7. Аполлонический трактат « О детерминированном разделе» посвящен тому, что можно было бы назвать аналитической геометрией одного измерения. Он рассмотрел следующую общую проблему, используя типичный греческий алгебраический анализ в геометрической форме: по четырем точкам A, B, C, D на прямой, определите на ней пятую точку P так, чтобы прямоугольник на AP и CP находился в дано отношение к прямоугольнику на БП и ДП. И здесь проблема легко сводится к решению квадратичной; и, как и в других случаях, Аполлоний исчерпывающе рассмотрел вопрос, включая пределы возможности и количество решений.
  28. ^ Он сказал в своем Praefatio 1710 г., что, хотя Аполлоний был вторым (по его мнению) после Архимеда , большая часть его elementa conica была «усечена», а оставшаяся часть «менее точна»; следовательно, теперь он собирался исправить это. Вопрос о том, какие именно предметы считать «верными», пронизывает сегодняшнюю литературу.
  29. ^ Для более точной версии цепи см. Wakefield, Colin. «Арабские рукописи в Бодлианской библиотеке» (PDF) . С. 136–137.
  30. Аполлоний из Перги и Хита 1896 г. , стр. ci
  31. ^ Хорошо, Генри Б. (1902). Система счисления алгебры рассматривается теоретически и исторически . Бостон: Лич. С. 119–120.
  32. Аполлоний из Перги и Хита 1896 г. , стр. cxv
  33. Аполлоний, Коникс , Книга I, Определение 4. См. Также Аполлоний Пергский и Хитский 1896 , с. clxi
  34. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр.  156–157 . ISBN 0-471-54397-7.
  35. ^ Аполлоний Перга & Heath 1896 , стр. CI - CII
  36. ^ Cajori, Флориан (1993). История математических обозначений . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 295 .

Ссылки [ править ]

  • Альхазен ; Hogendijk, JP (1985). Завершение Ибн аль-Хайсама «Коников» . Нью-Йорк: Springer Verlag.
  • Аполлоний Пергский; Галлей, Эдмунд ; Бальзам, Пауль Генрих (1861). Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte Nebst dem durch Halley wieder hergestellten achten Buche; dabei ein Anhang, энтузиазм Die auf die Geometrie der Kegelschnitte bezüglichen Sätze aus Ньютон «Натуральные принципы математики». (на немецком). Берлин: Де Грюйтер.
  •  Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в открытом доступеHeath, Thomas Little (1911). « Аполлоний Пергский ». В Чисхолме, Хью (ред.). Encyclopdia Britannica . 2 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 186–188.
  • Аполлоний Пергский; Галлей, Эдмунд ; Фрид, Майкл Н (2011). Реконструкция Эдмонда Галлея утерянной книги Коник Аполлония: перевод и комментарии . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1461401452.
  • Аполлоний Пергский; Хит, Томас Литтл (1896). Трактат о конических сечениях . Кембридж: Издательство университета.
  • Аполлоний Пергский; Heiberg, JL (1891). Apollonii Pergaei quae Graece exstant cum commentariis antiquis (на древнегреческом и латинском языках). Том I. Лейпциг: Тойбнер .
  • Аполлоний Пергский; Heiberg, JL (1893). Apollonii Pergaei quae Graece exstant cum commentariis antiquis (на древнегреческом и латинском языках). Том II. Лейпциг: Тойбнер .
  • Аполлоний Пергский; Денсмор, Дана (2010). Коники, книги I-III . Санта-Фе (Нью-Мексико): Green Lion Press.
  • Аполлоний Пергский; Фрид, Майкл N (2002). Аполлоний Пергский Коники, Книга IV: Перевод, Введение и диаграммы . Санта-Фе, Нью-Мексико: Green Lion Press.
  • Аполлоний Пергский; Талиаферро, Р. Кейтсби (1952). "Conics Books I-III" . В Hutchins, Роберт Мейнард (ред.). Великие книги западного мира . 11. Евклид, Архимед, Аполлоний Пергский, Никомах. Чикаго, Лондон, Торонто: Британская энциклопедия.
  • Аполлоний Пергский; Томас, Айвор (1953). Подборки, иллюстрирующие историю греческой математики . Классическая библиотека Леба . II От Аристарха до Папа. Лондон; Кембридж, Массачусетс: William Heinemann, Ltd.; Издательство Гарвардского университета.
  • Аполлоний Пергский; Toomer, GJ (1990). Conics, книги с V по VII: арабский перевод утраченного греческого оригинала в версии Banū Mūsā . Источники по истории математики и физических наук, 9. Нью-Йорк: Спрингер.
  • Аполлоний де Перге, La section of droites selon des rapports, Commentaireistorique et mathématique , édition et traduction du texte arabe. Рошди Рашед и Элен Беллоста , Scientia Graeco-Arabica, т. 2. Берлин / Нью-Йорк, Вальтер де Грюйтер, 2010.
  • Фрид, Майкл Н .; Унгуру, Сабетай (2001). Аполлоний Пергский из Conica: текст, контекст, подтекст . Лейден: Брилл.
  • Knorr, WR (1986). Древняя традиция геометрических задач . Кембридж, Массачусетс: Birkhauser Boston.
  • Нойгебауэр, Отто (1975). История древней математической астрономии . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  • Папп Александрийский ; Джонс, Александр (1986). Папп Александрийский Книга 7 собрания . Источники по истории математики и физических наук, 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York.
  • Рашед, Рошди ; Декорпс-Фулькье, Мишлен; Федершпиль, Мишель, ред. (nd). «Коника». Аполлоний де Перге, Coniques: Texte grec et arabe etabli, traduit et commenté . Scientia Graeco-Arabico (на древнегреческом, арабском и французском языках). Берлин, Бостон: Де Грюйтер. Выложите резюме .
  • Toomer, GJ (1970). «Аполлоний Пергский». Словарь научной биографии . 1 . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. С. 179–193. ISBN 0-684-10114-9.
  • Zeuthen, HG (1886). Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (на немецком языке). Копенгаген: Хёст и Зон.

Внешние ссылки [ править ]

Многие популярные сайты по истории математики, ссылки на которые приведены ниже, ссылаются или анализируют концепции, приписываемые Аполлонию в современных обозначениях и концепциях. Поскольку большая часть Аполлония подлежит интерпретации, и он сам по себе не использует современный словарь или концепции, приведенный ниже анализ может быть неоптимальным или точным. Они представляют собой исторические теории своих авторов.

  • Редакторы Encyclopædia Britannica (2006). «Аполлоний Пергский» . Британская энциклопедия.
  • Кункель, Пол (2016). "Коники Аполлония" . Математика Уистлер-Элли . whistleralley.com . Проверено 15 февраля 2017 года .
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Аполлоний Пергский» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
  • «Математика и математическая астрономия» . Брауновский университет.
  • "Apollonii Pergaei Conicorum" . Цифровая коллекция библиотеки Линды Холл.
  • Дэвид Деннис; Сьюзан Аддингтон (2009). «Аполлоний и конические сечения» (PDF) . Математические намерения . quadrivium.info.
  • Стаудт, Гэри С. "Можете ли вы действительно вывести конические формулы из конуса?" . Математическая ассоциация Америки . Проверено 28 марта 2017 года .
  • МакКинни, Колин Брайан Пауэлл (2010). Сопряженные диаметры: Аполлоний Пергский и Евтокий Аскалонский (доктор философии). Университет Айовы.